Оценивание значений и стандартных неопределенностей входных величин

Для каждой величины, входящей в уравнение модели, необходимо определить оценку и стандартную неопределенность. Оценками входных величин (x₁, x₂ … x_N) являются их математические ожидания. Стандартная неопределенность u(xi), связанная с оценкой измеряемой величины x_{i ,} является стандартным отклонением величины. При этом каждую входную оценку x_i и связанную с ней стандартную неопределенность u(x_i) получают из распределения вероятностей входной величины Xi.

Как отмечалось ранее, в зависимости от имеющейся информации о величине Xi способы оценивания стандартных неопределенностей могут осуществляться по типу А и типу В. Оценку стандартной неопределенности по типу А получают из функции плотности вероятностей, основанной на наблюдаемом распределении частот, а оценку стандартной неопределенности по типу В получают из априорной функции распределения вероятностей, то есть предполагаемой функции распределения вероятностей, основанной на имеющейся информации о величине и связанной с ней (с информацией) субъективной вероятностью. В обоих случаях распределения вероятностей являются описанием нашихнеполных знаний о входных величинах.

Оценивание стандартной неопределенности по типу А может основываться на любых обоснованных методах статистической обработкиданных, таких как:

- расчет стандартного отклонения и среднего значения на основании серии наблюдений;

- использование метода наименьших квадратов для подбора кривой к данным (например, градуировочной кривой) и последующего расчета соответствующих оценок параметров градуировочной функции и их стандартных отклонений;

- проведение дисперсионного анализа для идентификации и определения значений отдельных случайных эффектов в измерениях, чтобы эти эффекты могли быть правильно приняты во внимание при оценивании неопределенности измеряемой величины и др.

Наилучшей доступной оценкой математического ожидания или ожидаемого значения μ_x величины x, изменяющейся случайным образом (случайная переменная), для которой были получены n независимых наблюдений x_i при одинаковых условиях измерения, является среднее арифметическое или среднее значение из n наблюдений:

= (9)

Таким образом, для входной величины Х_i,оцененной из n независимых повторных наблюдений, среднее арифметическое , полученное из уравнения (**), используется как входная оценка х_i в уравнении (*) для определения результата измерения y, т.е. х_i = .

Случайные составляющие неопределенности предположительно возникают из непредсказуемых или стохастических временных или пространственных изменений влияющих величин. Эффекты таких изменений (случайные эффекты) вызывают изменения измеряемой величины при повторных наблюдениях, что следует из формулы для отклонения среднего значения измеряемой величины:

u()= , (10)

где u(x) – стандартная неопределенность входной величины x, рассчитываемая из выражения (11):

u(x) =

Хотя случайная погрешность измерения не может быть компенсирована поправкой, ее обычно можно уменьшить, увеличив число наблюдений, ее математическое ожидание или ожидаемое значение равняется нулю. Экспериментальное стандартное отклонение среднего арифметического или усредненного значения рядов наблюдений u() не является случайной погрешностью среднего значения, это мера неопределенности среднего значения, обусловленной случайными эффектами. Систематическую погрешность, подобно случайной погрешности, нельзя устранить, но ее также можно уменьшить путем внесения поправок и поправочных коэффициентов, неопределенности которых также должны учитываться.

Если бы лаборатория обладала неограниченными ресурсами, то все составляющие неопределенности оценивались бы статистическими методами на основе экспериментальных данных. Однако в некоторых измерительных ситуациях, когда не представляется возможным организовать достаточное количество независимых наблюдений, оценка стандартной неопределенности по типу В может быть такой же надежной, как и оценка по типу А.

Оценивание неопределенности по типу В основывается на базе научного суждения, основанного на всей доступной информации о возможной изменчивости Хi. Фонд информации может включать [1]:

- данные предварительных измерений;

- данные, полученные в результате опыта, или общие знания о поведении и свойствах соответствующих материалов и приборов;

- спецификация изготовителя;

- данные, которые приводятся в свидетельствах о калибровке и в других сертификатах;

- неопределенности, приписываемые справочным данным, взятым из справочников.

Правильное использование фонда доступной информации для оценивания стандартной неопределенности по типу В требует интуиции, основанной на опыте и общих знаниях, и является мастерством, которое приходит с практикой. Имеющуюся информацию и знания или даже предположения о величинах Xi необходимо правильно описать с помощью распределения вероятностей, чтобы затем определить оценки величин и их стандартные отклонения. При этом чаще всего используются распределение Гаусса (нормальное), прямоугольное (равномерное), треугольное, трапецеидальное.

Распределение Гаусса применяют, когда:

оценка получена из повторных наблюдений случайно изменяющегося процесса (u (x) = s);

неопределенность дана в форме стандартного отклонения наблюдений

(s = u (x));

неопределенность дается в форме 95%-ого или другого интервала доверия Q без указания вида распределения: u (x) = Q /2 (для Q при 95 %) [3].

Для входной величины, имеющей нормальное распределение с ожиданием μ_x и стандартным отклонением σ функция распределения вероятностей имеет вид (рисунок 7):

p(t) = (12)

μx

x

a+

a-

μx+ σ

μx-σ

1/2 a

P(x)

Рисунок 7 - Графическая иллюстрация нормального распределения входной величины

р

 

Прямоугольное распределение. Если нет конкретной информации о характере распределения Х_i внутри интервала от а_- до а₊, то можно только предположить, что данная величина может находиться в любом месте в его пределах с одинаковой вероятностью (равномерное или прямоугольное распределение, см. рисунок 8 a). Тогда х_i, ожидание или ожидаемое значение Х_i, является средней точкой интервала:

х_i = (13)

Дисперсия и стандартное отклонение рассчитываются по формулам:

u²(x_i) = (14)

u(x_i) = (15)

Если составляющая неопределенности, полученная таким образом, дает значительный вклад в неопределенность результата измерения, имеет смысл получить дополнительные данные для ее дальнейшего оценивания. Прямоугольное распределение вероятностей применяется когда:

- об измеряемой величине только известно, что ее значение наверняка лежит в определенной области (от – а до + а), и что каждое значение между границам этой области с одинаковой вероятностью может приниматься в расчет;

- сертификат или другой документ дает пределы без определения уровня доверия (например, 25 мл ± 0,05 мл), ± а = ± 0,05 мл;

- оценка получена в форме максимальных значений диапазона (± а) с неизвестной формой распределения [3].

Рассмотренные разрывы ступенчатой функции в распределении вероятностей являются часто нефизическими: во многих случаях более реалистично ожидать, что значения возле границ гораздо менее вероятны, чем те, которые находятся возле центра. Тогда целесообразно заменить симметричное прямоугольное распределение симметричным трапецеидальным, имеющим одинаковые наклонные стороны (равнобедренная трапеция) или треугольным распределением (рисунок 8 б):

u²(x_i) = (16)

u(x_i) = (17)

Треугольное распределение вероятностей применяется когда:

- доступная информация относительно х менее ограничена, чем для прямоугольного распределения, значения возле х (среднее арифметическое) более вероятны, чем у границ;

- оценка получена в форме максимальных значений диапазона (± а), описанного симметричным распределением [3].

 

Рисунок 1 Графическая иллюстрация оценивания стандартной неопределенности входной величины из априорного распределения: а – прямоугольное распределение; б – треугольное распределение

a

a

P(x)

x

a

a

μx

a+

a-

μx+a/

μx-a/

1/2 a

а)

P(x)

μх

μx +a/

μx -a/

a-

a+

1/ a

б)

Так как надежность оценок составляющих неопределенности зависит от качества доступной информации, рекомендуется, чтобы все параметры, от которых зависит измеряемая величина, были изменяемыми до степени необходимой на практике, чтобы оценки, насколько это возможно, были основаны на наблюдаемых (существующих) данных. Всякий раз, когда это возможно, использование эмпирических моделей измерений, основанных на долговременных количественных данных, эталонах сравнения и контрольных картах, которые могут показать, находится ли измерение под статистическим контролем, должно составлять часть усилий, которые необходимо затратить для получения надежных оценок неопределенности. Хорошо спланированный эксперимент может значительно способствовать повышению надежности оценок неопределенности и является частью искусства проведения измерения. Следует признать, что оценка неопределенности по типу В может быть такой же надежной, как и оценка по типу А, особенно в ситуации, когда оценивание по типу А основывается на небольшом числе статистически независимых наблюдений. Некоторые входные величины (например различные поправки или отклонения вследствие тех или иных причин) могут на основании имеющейся информации и знаний оцениваться значением "нуль", но они могут иметь стандартные неопределенности, которые являются достаточно большими, чтобы внести значительный вклад в суммарную стандартную неопределенность и которые должны обязательно оцениваться [1].

Анализ корреляций

Две входные величины могут быть независимы или связанны между собой, то есть взаимозависимы или коррелированны. С позиций концепции неопределенности измеряемая величина трактуется как скаляр (единичная величина), в то же время ряд связанных измеряемых величин, определенных одновременно в том же самом измерении, требует замены скалярной измеряемой величины и ее дисперсии на векторную измеряемую величину и ковариационную матрицу. Значительная ковариация между двумя входными величинами может наблюдаться в случае, если «при их определении используют один и тот же измерительный прибор, физический эталон измерения или справочные данные, имеющие значительную стандартную неопределенность» [1, с.23]. Например, если поправка на температуру, необходимая для оценки одной входной величины Х_i, получается с помощью некоторого термометра и такая же поправка на температуру, необходимая для оценки входной величины X_j, тоже получается с помощью этого же термометра, то две входные величины могут быть значительно коррелированны.

Ковариация двух случайных переменных является мерой их взаимно зависимости. Ковариация случайных переменных x и z определяется по формуле:

cov (x,z) = cov (z, x) = (18)

Ковариация cov (x,z) может быть оценена с помощью дисперсии s(x_i, z_i), полученной из n независимых пар x_i и z_i одновременных наблюдений x и z:

s(x_i, z_i) = (19)

Оцененная ковариация средних значений и определяется как

s( , ) = (20)

С учетом ковариации выражение для суммарной дисперсии u_c²(y), связанной с результатом измерения, запишется в виде:

u_c²(y) = , (21)

где x_i; x_j – оценки X_i; X_j,

u(x_i,x_j) – оцененная ковариация x_i и x_j.

Степень корреляции между x_i и x_j характеризуется оцененным коэффициентом корреляции:

r(x_i; x_j) = , (22)

где r(xi; xj) = r(xj; xi) и -1 ≤ r(x_i; x_j) ≤ +1

В результате выражение (21) запишется в виде:

u_c²(y) = , (23)

Ковариация, связанная с оценками двух входных величин Хi и Xk может устанавливаться равной нулю или рассматриваться как пренебрежимо малая, если:

а) обе входные величины Х_i и X_j являются независимыми друг от друга, например, если они в различных, независимых один от другого экспериментах многократно, но не одновременно наблюдались или если они представляют (описывают) результирующую величину различных, независимых друг от друга проведенных исследований;

б) одна из входных величин Хi и X_j может рассматриваться как константа;

в) исходя из наших знаний и предположений просто не имеется никаких оснований для существования корреляции между входными величинами Хi и X_j.