Задача потребительского выбора - это задача на условный экстремум. Она сводится к нахождению безусловного экстремума функции Лагранжа
которой в данном случае можно дать следующую интерпретацию: потребитель стремится получить максимум полезности от приобретенных благ (первое слагаемое функции Лагранжа) и небольшой суммы денег (второе слагаемое), оставшейся у него вследствие ограниченной делимости благ.
Тогда сомножитель Лагранжа характеризует предельную полезность денег (бюджета).
Необходимые условия локального экстремума:
(22.4)
(22.5)
эти условия определяют точку максимума, поскольку матрица 
отрицательно определена.
Из (22.5) видно, что потребитель при фиксированном доходе так выбирает набор 
, что в этой точке отношения предельных полезностей равны отношениям цен:
Если разрешить (22.4), (22.5) относительно , получим функцию спроса потребителя
(22.6)
Пример задачи потребительского выбора. Выведем функции спроса потребителя, предпочтения которого отображаются функцией полезности
а бюджет равен M. Соответствующая данным условиям функция Лагранжа имеет вид
Условиями ее максимизации являются
| (а) (б) (в) |
Разделив (а) на (б), получим
(г)
Соответственно деление (б) на (в) с учетом (г) дает
(д)
Подставим выражения (г) и (д) в бюджетное уравнение и решим его относительно QA:
Подставив найденное значение QAD в выражения (г) и (д), получим:
.
Уравнение Слуцкого
Одним из основных в теории потребительского выбора является уравнение Слуцкого, опубликованное российским математиком Е.Е. Слуцким в 1915 г. Это уравнение позволяет увязать действие эффекта замены и эффекта дохода с результирующим изменением спроса:
Первое слагаемое в правой части описывает действие эффекта замены, второе – действие эффекта дохода, выраженное в тех же единицах измерения (множитель xj приводит их к одной размерности). Слева записано результирующее воздействие на спрос, складывающееся из изменения структуры спроса и общего его изменения при изменении уровня реального дохода.
Индекс comp означает, что перекрестная частная производная спроса рассчитывается при необходимой для поддержания прежнего уровня благосостояния компенсации дохода. Условие компенсации снимает «эффект дохода», оставляя лишь «эффект замены», что позволяет более точно определить понятие взаимозаменяемости и взаимодополняемости благ и оценивать эти характеристики. Блага i и j называются взаимозаменяемыми, если 
и 
(эти два условия равносильны), и взаимодополняемыми, если 
и 
.
Поскольку на самом деле изучается некомпенсируемое ростом дохода изменение спроса при увеличении цены на 
-й товар, то второе слагаемое в уравнении Слуцкого (с отрицательным знаком) как раз и снимает искусственный прирост спроса, вызванный компенсирующим увеличением дохода.
Товар 
называется ценным, если при увеличении дохода спрос на него растет 
, и малоценным, если 
.
Спрос на ценный товар падает при увеличении цены на него, это непосредственно следует из уравнения Слуцкого для этого ( -го) товара:
Обязательно найдется такой товар 
, для которого 
приводит к увеличению спроса на -й товар. Такие товары называются взаимозаменяемыми. Например, животное масло и растительное масло.
Если же 
, то товары и 
образуют взаимодополняемую пару (компенсируемое увеличение цены на бензин приводит к падению спроса на бензин и к падению спроса на автомобили).
Продукт называется валовым заменителем продукта , если 
.
Функция спроса 
обладает свойством валовой заменимости, если с увеличением цены на любой продукт спрос на остальные продукты не убывает:
если же 
, то функция спроса обладает свойством сильной валовой заменимости.
