:
: 1. MOB x (.3) 0<x<π/2;
|
|
|
|
|
|
|
.3 x>0
x<0, ..
x.
.
8) .
,
, x→∞,..
1. x→+∞. x , - x.
:
2) . x=t,
,
.
: . x=2t,
8) .
... : , , .
... . - ... x→x0, .. . :
1. , α- β;
2. , α β- ;
3. , α- β;
4. - , α β .
9) .
.
1. f(x) x0, , , .. . (1)
;
2. f(x) 0, >0 >0, x |x-x0|< , |f(x)-f(x0)|< ;
3. . ∆x=x-x0- x0, ∆y=f(x)-f(x0)- x0, ∆x. , ∆x=x-x0,∆y=f(x)-f(x0), x →x0 x-x0 →0 , (1) - .
10) .
y=f(x) (a,b), . y=f(x) [a,b], (,b), x= (.. ), x=b (.. ).
|
|
11)
x0 f(x), .
:
- ( x→ x0, );
- ( )
|
|
|
|
|
|
|
12) .
) , :
.
1. , x0 ( , ). .
2. y=f(u) u0, u= (x) u0=φ(x0). y=f[φ(x)] x0.
: u= (x), , ..
x→ x0 u→ u0. y=f(u) :
, y=f(φ(x)) x0.
3. y=f(x) x0 f(x0)>0, x0, f(x)>0. , ∆x →0, ∆y . y=f(x) (x0-∆x,x0+∆x) . , y=f(x) x, . , .
) , :
1. y=f(x) [a,b], .
2. y=f(x) [a,b], ( ) (. a).
3. y=f(x) [a,b] f(a)=A f(b)=B, A B.(.)
|
7. .
. , .
|
|
. . . . f(x) . ,
, (a,b) , .
, , .
1) .
) .
(t) t. t1 t2, , .
,
, V . - , .
) .
|
|
|
|
|
|
|
2) .
. , . , .. , . , . . 0, , , , , , . : , , . :
, , .. , (0;0). , ( ). , . .
, .
3) , .
, , . .
:
1 () () , ..
. ,
.
.
2 ..
,
: 1. , -
2.
3 , , , , ..
|
|
. ,
: 1) 2) const.
4) .
, . .
. , , , , ;
. . , , ... (1), . , : , , .
(1)
, . , , , , .
5) .
1.
.. .
2. .
.( =∆x, x→0)
..
3.
:
.. ..
4. .
..
:
)
)
)
5. .
)
)
)
)
:
6) :
1.
2.
3. ;
4.
5.
:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
7) .
1) y=f(x), y, ( ). F(x,y)=0 y. F(x)-y=0, .
, y (: y+2x+cosy-1=0). F(x,y)=0, y x y. x, y x, . x y.
: y :
, x :
, .. ;
2. . x y
t- , .
y'x, , x=x(t) t=φ(x).
y=f(x) y=y(t), t=φ(x),
..
y'x , y x.
|
|
:
.
. ..
8)
, .
.
: :
, :
x :
=y
= ;
, . - : y= , u=u(x) = (x). . :
:
.
9)
1. .
y'x=f '(x) y=f(x), x . (x) , :
, y''=(y')'.
y'', , y'''=(y'')' ..
n- (n-1)
.
()
, .
M :
( ).
t, V, t+∆t V+∆V,
- .
2. .
y=f(x) F(x,y)=0. x, y' . ..
3.
y=f(x) :
y'x = . y''x .
.. ,
10)
y=f(x) x f '(x)≠0, ,
, α→0 ∆x→0
, ∆y f '(x)∆x α∆x ∆x→0. ∆x,
, , ∆x:
f '(x)∆x ∆y.
y=f(x) x , , dy( d(f(x)). : dy= (x)dx
.
.
:
11).
|
|
, dy=AB, .. x , x ∆x.
12)
. , .. y'=0 y=c, c dy=c'dx=0.
1. ,
V≠0
, , . :
d(UV)=(UV) ' dx=(U ' V+UV ' )dx=VU ' dx+UV ' dx=Vdu+Udv
2. .
|
|
y=f(u) u=φ(x)- : y=f(φ(x)). y'x=y'uu'x. dx, : y'xdx=dy=y'uu'xdx, , u'xdx=du, : dy=y'udu. , , , .
() . , dx= x, u x, , , du≠∆u.
:
1)
2)d(UV)=VdU+Ud , d(CU)=CdU
3) , d ..
13) .
, ∆y x ∆y= (x)∆x+α∆x, α→0 x→0, ∆y=dy+α∆x. α∆x , ∆x, : ∆y≈ dy. , ∆x.
. , .
: , x=2 ∆x=0,001.
:
dy= . ,
, . ∆y
:
14)
y=f(x)- , x- . dy=f '(x)dx x .
y=f(x) ( ) d2y=d(dy).
, d2y=d(dy). d2y. dx=∆x x, dx- const:
..
, n- :
.. ( n-) (n-) (n- ) .
,
,
x- . y=f(x), x- , (n>1) .
6. .
1) .
1. () f(x) [ ,b] (,b) f()=f(b), f '(x)=0, .. f '(c)=0.
f() [ ,b], m. m, f(x)= const [ ,b] =0 [ ,b]. ≠ m, m [ ,b], f()=f(b). , (,b), .. f()=, =. f(x)< f (), , ..
f '() =0. , = m .
, y=f'() . (.8.)
| |||||||||||
| |||||||||||
|
|
|
| ||||
|