Множества. Действительные числа

Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий в математике. Под множеством понимают совокупность некоторых объектов, объединенных по определенному признаку. Объекты, составляющие множество называются его элементами (точками). Множество принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита (A,B...X,Y), а элементы малыми (,b....x,y). Если элемент принадлежит множеству X, то пишут x є X.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустыми (ø). Элементы множеств записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены. Например, запись А={1,5,10}означает, что множество А состоит из трех чисел 1,5 и 10.

Введем понятие суммы множеств. Суммой множеств X иY называется совокупность элементов, принадлежащих X и Y. Сумма этих множеств обозначается X U Y. Произведение (пересечение) множеств X и Y является совокупность элементов принадлежащих множеству Х и Y одновременно. Пересечение обозначают X ∩Y.

Множества, элементами которого являются числа, называют числовыми.

Пример: -множество натуральных чисел

-множество целых неотрицательных чисел

-множество целых чисел

-множество рациональных чисел

и R-множество действительных чисел- содержит рациональные и иррациональные числа. Рациональные - выражаются или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Действительные числа не являющиеся рациональными называются иррациональными.

2. Числовые последовательности

Числовые последовательности представляют собой бесконечные множества чисел.

Под числовой последовательностью x₁,x₂.....x_n понимают совокупность чисел из натурального ряда , ..... каждое из которых поставлено в соответствии вещественному числу . Числа , .... будем называть элементами числовой последовательности. Символ x_n – общим элементом, а число n- его номером. Сокращенно последовательность обозначают { }. чаще всего последовательность задается формулой его общего члена так например =n² (1, 4,9….).

1) последовательность называется ограниченной если существует такое число A>0, что для любого n ≥ N выполняется неравенство . В противном случае последовательность- неограниченна.

2) последовательность называется возрастающей, если для любого n выполняется неравенство

аналогичным образом определяется убывающая последовательность _n+1< .

Все эти последовательности называются монотонными последовательностями.

3) последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А существует такой номер N, что при n>N (для всех элементов последовательности с номером n>N) выполняется неравенство | x_n |>A. Очевидно, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной.

4) последовательность называется бесконечно малой, если для положительного существует такой номер N, что при n>N выполняется равенство |α_n|< .

Основные свойства бесконечно малых последовательностей:

1) сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малыми последовательностями. Пусть - бесконечно малые последовательности. Докажем, что - бесконечно малая. Пусть - произвольное число, N₁ – номер начиная с которого , а N₂ – номер начиная с которого . Такие номера должны найтись в соответствии с определением б.м.п.

возьмем N=max(N₁,N₂), тогда при n>N одновременно должны выполняться два неравенства

Значит при всех n>N

Тогда в соответствии с определением последовательности - бесконечно малая;

2)произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность;

3) произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью. Последние два свойства примем без доказательств.

3. Сходящиеся последовательности. Предел числовой последовательности

Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа существует такой номер N, что при всех n>N выполняется неравенство:

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Если предел последовательности равен числу , то это записывается так:

Или

при

Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Полученное неравенство равносильно неравенствам:

Или

x_n

которые показывают, что элемент x_n находится в окрестностях точки a

Рис.1.

Поэтому определение предела последовательности геометрически можно сформулировать так: число называется пределом последовательности , если для любой окрестности точки найдется такое натуральное число N, что все значения x_n,для которых n>N, попадут в - окрестность точки .(рис.1) Ясно, что чем меньше , тем больше число N, но в любом случае внутри – окрестности точки находится бесконечное число членов последовательности, а вне ее может быть лишь конечное ее число.

Отсюда следует, что сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Свойства сходящихся последовательностей.

1) если все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу с, то с=0

Доказательство: пусть с≠0 возьмем . По определению бесконечно малой последовательности существует такой N, что при n>N выполняется неравенство |x_n|< , но т.к. x_n=c, то последнее можно записать , а это верно только при c=0 ч.т.д.

2)Сходящая последовательность ограничена;

3) сумма (разность) сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последовательностей и .

4) произведение сходящих последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей и .

5) частное двух сходящихся последовательностей и при условии, что предел последовательности есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей и .

Все эти свойства необходимы для определения пределов различных последовательностей. Доказывать все не будем. Рассмотрим лишь в качестве примера доказательство свойства 3.

Доказательство: пусть a и b – соответственно пределы и . Тогда по определению предела последовательности, любой элемент сходящейся последовательности, с учетом того, что , можно представить в виде где _n– элемент бесконечно малой последовательности. Аналогично , отсюда получим: . поскольку, _n±β_nесть тоже величина бесконечно малая, то и последовательность тоже величина бесконечно малая, откуда и следует, что число (а±b) является пределом сходящейся последовательности. ч.т.д.

4. Признак сходимости монотонные последовательности

Монотонные последовательности классифицируются по соотношению между соседними элементами, о чем говорилось выше. Монотонные последовательности ограничены либо сверху (убывающие), либо снизу (возрастающие).

Сформулируем признак существования предела таких последовательностей (теорема Вейерштрасса).

Теорема: В сякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

В качестве примера рассмотрим последовательность:

, .По формуле бинома Ньютона:

^n-1 ^n-2b²+….. bⁿ

Полагая =1, получим:

=

Или

Отсюда следует, что с увеличением n, число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n, число убывает, поэтому величины ... возрастают. Поэтому последовательность - возрастающая. При этом . Покажем, что эта последовательность ограничена. Если заменить каждую скобку в правой части на 1, то мы увеличим правую часть, и равенство превратится в неравенство:

усилим полученное неравенство, заменив числа 3,4,5….n, стоящие в знаменателях дробей на 2^n-1.

Сумма в скобках - сумма членов геометрической прогрессии:

Поэтому

Следовательно, по теореме Вейерштрасса, последовательность имеет предел, обозначаемый обычно буквой е.

Следовательно:

.

Число е играет большую роль, в математике и является иррациональным (число Эйлера, Неперово число).

Рассмотрим задачу о непрерывном начислении %

Пример: первоначальный вклад в банк составил Q₀. Банк выплачивает P% годовых. Необходимо найти размер вклада Q_t через t- лет.

а) при использовании простых процентов. Размер вклада ежегодно будет увеличиваться на одну и ту же величину т.е. . На практике значительно чаще используют сложные проценты. В этом случае размер вклада ежегодно будет увеличиваться в одно и тоже число раз, т.е. ; . Если начислять проценты по вкладам не один раз в году, а n раз, то при том же ежегодном приросте P% процент начисления за часть года составит , а размер вклада за t лет при nt начислениях составит: Q_t=Q₀

Будем полагать, что проценты по вкладу начисляются: каждое полугодие (n=2), ежеквартально (n=4), ежемесячно (n=12), каждый день (n=365) и т.д. Непрерывно (n→∞), тогда размер вклада за t лет составит:

т.е.

Эта формула показывает показательный (экспоненциальный) закон роста (при p>0) или убывания (при p<0). Она может быть использована и при непрерывном начислении процентов.

5. Функции одной переменной

Пусть X и Y- некоторые числовые множества и пусть каждому x є X, по какому-либо закону f поставлен в соответствие один элемент y є Y, тогда будем говорить, что определена функциональная зависимость y от x по закону y=f(x). При этом x- называют независимой переменной (аргументом), y – зависимой переменной. Множество X – областью определения (существования), множество Y- областью значений (изменений) функции. Совокупность точек координатной плоскости XOY, удовлетворяющих уравнению y=f(x) называется графиком этой функции. Для обозначения функций могут быть использованы и другие буквы, например:

и т.д.

1) Cпособы задания функций

Задать функцию - значит указать закон, по которому каждому значению аргумента из области определения ставится в соответствие (вычисляется) значение зависимой переменной из области значения функции. Существуют три основных способа задания функции: табличный, аналитический и графический.

Табличный способ. Этот способ имеет широкое примение в различных отраслях знаний и экспериментальных исследованиях. В этом случае вся цифровая информация заносится в таблицы. Как правило одну из переменных, например, время можно принять за независимую, тогда другие величины будут функциями от этого аргумента. По сути базы данных основан на табличном способе задания

Аналитический способ. Этот способ состоит в задании связи между аргументом и функцией в виде аналитического выражения(формул). Следует отметить, что функция может определиться и набором формул. Например:

и y= и т.д.

Графический способ. Здесь соответствие между аргументом и функцией задается посредствам графика. Этот способ широко используется в экспериментальных измерениях с употреблением самопишущих приборов.

2) Область определения функции.

В том случае, когда функция задана аналитически y=f(x) и никаких ограничений или оговорок не имеется, область ее определения находится по соблюдению законности выполнения математических операций, входящих в формулу f. Эти ограничения известны: подкоренное выражение в корне четной степени не может быть <0. знаменатель дроби не может быть=0 и т.п.

Пример № 1: Область определения функции находится из условий . Поскольку x₁=2, x₂=3 корни квадратного уравнения стоящего под знаком логарифма то это условие выполняется на двух полубесконечных интервалах (-∞,2) и (3, +∞).

Пример № 2: область ее определения находится из того, что или -1≤

Или и , отсюда область определения состоит из двух полубесконечных промежутков(-∞,-3]и[-1, +∞). Функция может иметь прикладной характер и область ее определения будет определяться реальными значениями входящих параметров.

Пример- зависимость удлинения металлического стержня от температуры ∆l=α∆T и ограничение температурой плавления тела.

3) Свойства функций

Рассмотрим основные свойства функций:

1. четность и нечетность. Функция y=f(x) – четная, если для любых значений x из области определения f(-x)=f(x) и нечетной f(-x)=-f(x). Примеры: y=x- нечетная функция, y=x²_-четная.

2. монотонность. Функция f=f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке X, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции. Функции, возрастающие и убывающие, называются монотонными.

3. ограниченность. Функция f(x) называется ограниченной на промежутке X, если существует такое положительное число M>0, что |f(x)|≤M для любого x є X. В противном случае функция называется неограниченной.

4. периодичность. Функция y=f(x) называется периодической с периодом T≠0, если для любых x из области определения f(x+T)=f(x). Пример: y=Sinx, T=2 .

5. обратная функция. Пусть y=f(x) есть функция от независимой переменной x определенной на множестве X с областью значений Y. Поставим в соответствие каждому yєY единственное значение x є X, при котором f(x)=y. Тогда полученная функция x= , определенная на множестве Y с областью значений X называется обратной.

6. сложная функция. Пусть функция y=f(u) есть функция от переменной u определенной на множестве U, с областью значений Y, а переменная u, в свою очередь, является функцией u= (x) от переменной x, определенной на множестве X с областью значений U. Тогда заданная на множестве X функция y=f [φ(x)] называется сложной функцией.

7. явная и неявная функции. Функция называется явной если она задана формулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной. Например: . Функция называется неявной, если она задана уравнением F(x,y)=0. не разрешенным относительно зависимой переменной.

4) Понятие элементарной функции

К основным элементарным функциям относят:

1. показательная функция y= ^x, >0, ≠1

2. степенная функция y=

3. логарифмическая функция y= , >0, ≠1

4. тригонометрические функции y=Sinx, y=Cosx, y=tgx и y=ctgx

Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных, с помощью конечного числа арифметических операций и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией.

5) Применение функций в экономике

Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых в экономике функций достаточно широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определенному алгоритму с помощью так называемых реккурентных соотношений, связывающих состояние изучаемых объектов в различные периоды времени.

Наиболее часто в экономике используются следующие функции:

1. функция полезности- в широком смысле зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия, от уровня действия;

2. производственная функция- зависимость результата производственной деятельности от обуславливающих его факторов

3. функция выпуска- зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов

4. функция издержек- зависимость издержек производства от объема продукции

5. функция спроса-, потребления и предложения- зависимость объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.). Учитывая, что экономические явления и процессы обуславливаются действием различных факторов, для их исследования широко используются функции нескольких переменных. Среди этих функций можно выделить мультипликативные функции, позволяющие представить зависимую переменную в виде произведения факторных переменных, обращающих его в ноль при отсутствии действия хотя бы одного фактора.

Предел функции

Предел функции в точке

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀, кроме, самой точки.

Число A называется пределом функции в точке x₀(или при x→ x₀), если для любого положительного - существует число >0, такое что для всех x≠x₀, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство , Записывается это определение

Это определение означает, что функция f(x) имеет предел в точке x₀, если для любой - окрестности точки A можно найти такую -окрестность x₀, что, как только значение аргумента попадет в эту -окрестность, соответствующее значение функции f(x),будет находиться в - окрестностях точки A. При этом по любому >0 число >0 определяется по функции f (рис.1)

y

а) Левый и правый предел функции

X₀-

X₀+

x₀

x

A-

A+ E

A

y=f(x)

Число A₁(A₂) называется правым (левым) пределом функции в точке x₀, если для любого >0 существует такое >0, что для всех x из правой (левой) - окрестности точки x₀т.е. , выполняется неравенство ; . Записывается

,или .

Рис.1 или f(x0-0)=A2

Пределы функции справа и слева называются односторонним пределами. Очевидно, если существует , то существует и оба односторонних предела причем A₁=A₂=A. справедливо и обратное утверждение если существуют оба предела и они равны то существует и . Если же A₁ ≠A_2, то не существует.

2) Предел функции при x→∞.

A+

Пусть y=f(x) определена в промежутке (−∞;∞). Число A называется пределом функции f(x) при x→∞, если для любого >0 существует такое число M, что при всех |x|>M справедливо неравенство . Этот предел записывается .

A-

A

M

Геометрический смысл – соответствующие значения функции f(x) попадают в – окрестности точки A, т.е. точки графика лежат в полосе шириной 2 ограниченной прямыми y=A- и y=A+ (Рис.2).

Рис.2.