Матрица А все элементы которой неотрицательны называется продуктивной если для любого вектора Y с неотрицательными компонентами существует решение уравнения баланса причем все элементы вектора Х > 0. В таком случае модель Леонтьева называется продуктивной.
Существует математическая теория исследования и решения уравнения баланса. Не вдаваясь в подробности, остановимся на некоторых основных моментах.
Теорема. Если для матрицы А с положительными элементами и вектора Y с положительными компонентами уравнение баланса имеет решение Х с положительными компонентами, то А – продуктивна. Иными словами достаточно установить наличие положительного решения уравнения баланса хотя бы для одного значения вектора Y, чтобы матрица А была продуктивна. Перепишем уравнение баланса с использованием единичной матрицы в виде:
Если существует обратная матрица (Е –А)-1, то существует и единственное решение этого уравнения.
(1)
Матрица (Е –А)-1 – называется матрицей полных затрат.
Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Один из них говорит, что А продуктивна, если сумма её элементов по любому её столбцу (строк) не превосходит единицы:
и существует номер j, что 
Выясним экономический смысл матрицы полных затрат S = (Е –А)-1, для чего зададимся единичными векторами конечного продукта Y1(1,0,0,0…0), Y2(0,1…0),..Yn(0,…1) тогда по (1) соответствующие вектора валового продукта будут:
, 
, 
Следовательно, каждый элемент Sij матрицы S есть величина валового выпуска продукции i – отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j – ой отросли Yj = 1 (j = 1,n).
III. Элементы векторной алгебры
Основные понятия
Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Примерами являются: длинна, площадь объем, работа, масса.
Величины, которые определяются не только своим численным значением, но и направлением называются векторами, пример – скорость, сила.
Определение. Направленный отрезок, на котором задано начало, конец и направление называется вектором. Если А и В – начало и конец, то вектор можно обозначить 
или 
.
А B
Расстояние между началом и концом вектора называют его длиной.
1. Векторы и 
называют коллинеарными, если они лежат на одной или параллельных прямых.
2. Векторы и называют равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны.
В любой системе координат вектор можно охарактеризовать своими координатами =(x,y,z). Пусть в системе координат OXYZ координаты начала и конца вектора соответственно А (x 1, y 1, z 1 ) и В (x 2, y 2, z 2 ). Тогда координаты этого вектора определяются формулой: x = x2 - x1, y = y2-y1, z = z2-z1.
Длина вектора – модуль вектора:
Нулевой вектор 
(000). Нулевой длины.
Операции над векторами
Пусть даны два вектора =(a1,a2,a3) и =(b1,b2,b3)
1. Сложение. Суммой векторов и называется третий вектор 
=(с1,с2,с3) координаты которого равны сумме соответствующих координат a и b
c1 = a 1+b1, c2= a 2+b2, c3= a 3+b3 .
2. Произведение. Произведение вектора a ≠ 0 на число λ ≠ 0 называется вектор λ 
, координаты которого соответственно равны λ a1, λ a2, λ a3.
Можно показать, что для получения суммы векторов нужно совместить конец вектора с началом вектора , тогда = 
+ будет направлен от начала первого к концу второго (рис. 1).
|
|
|
|
Геометрический смысл умножения числа на вектор состоит в увеличении его длины в λ раз, при | λ| > 1 или сокращении в λ раз при | λ| < 1. При λ < 0 вектор λ имеет направление противоположное вектору . Вектора λ и коллинеарны.
3. Вычитание.
Под разностью векторов и понимается вектор 
такой, что 
.
 |
 | |||
|
Через координаты разность векторов 
и 
будет равна вектору 
, причем 
; 
; 
.
Т.е. 
4. Основные свойства линейных операций.
1. + = +
2.( + )+ = +( + 
)
3. λ ·(α · )=(λ· )·α
4.(α+λ)· =α· +λ·
5.λ·( + )=λ· +λ·
Пусть даны два вектора =(a1,a2,a3) и =(b1,b2,b3) из определений коллинеарности и произведения вектора на число следует, что a и b коллинеарны в том и только в том случае если их координаты пропорциональны
- условие коллинеарности векторов
5. Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением двух векторов и называют число равное
· = 
· 
·cosα (1), где a - угол между и . Скалярное произведение можно выразить через их координаты следующим образом:
пусть даны =(a 1, а 2, а 3) и =(b 1,b2,b3).Тогда, · 
(2)
(все смешанные произведения = 0).Сопоставляя (1) и (2) получим:
;
Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:
1). · = · ;
2). ( ·λ)· =( · )·λ
3). ·( + )= 
+ 
4). 
=| |2
5). · =0 если вектор перпендикулярен вектору .
6. Векторное произведение векторов.
Векторным произведением вектора на называется вектор с, который
а.) перпендикулярен векторам и т.е. ┴ и ┴ .
b.) имеет длину численно равную площади параллелограмма построенного на векторах и как на сторонах (рис.2), т.е. |с| = |а|·|b|·sinφ, где φ=(a^b).
с.) Векторы и должны образовывать правую тройку (три вектора образуют правую тройку векторов, если с конца третьего вектора с кротчайший поворот от первого а, ко второму b, виден совершающимся против часовой стрелки, и левую если по часовой).
Векторное произведение обозначается × = или [ ]=
Векторное произведение векторов обладает следующими свойствами:
1. × = −( × )
|
× )=(λ )× = ×(λ )
|
3. || только тогда, когда × =
|
4. ( + )× = × + ×
Векторное произведение можно выразить через координаты:
× = 
=
= 
Где 
, 
, 
– единичные орты, направленные вдоль осей координат
Это легко доказывается (делать этого не будем).
7. Смешанное произведение векторов.
|
× )· - пример смешанного произведения векторов. Здесь 
умножается на векторно, а затем результат на скалярно. Это пример смешанного произведения трех векторов.
|
|
|
Для того, чтобы понять смысл этого произведения построим параллелепипед ребрами которого являются , , и , а вектор
= × . (рис. 4)
 | |||
| |||
Имеем 
,
Где S – площадь параллелограмма, построенного на векторах и , а 
– высота параллелепипеда, тогда 
.Знак «+» если эти вектора образуют правую тройку и знак «–» если левую, где 
- объем параллелепипеда.
Свойства смешанного произведения:
1) 
2) 
3) 
4)(axb)c=-(bxa)c и т.д.
Выражение смешанного произведения через координаты:
;
Без доказательства.
3. Векторное пространство и п – мерный вектор
Проведем обобщение ранее введенных понятий вектора и пространства для трехмерных систем на п – мерный случай.
Определение 1. Любой упорядоченный набор из п действительных чисел а1, а2, … ап называется п – мерным вектором , при этом числа составляющие упомянутый набор называются координатами (компонентами) вектора .
Определение 2. Совокупность всех п – мерных векторов называется п – мерным векторным пространством R n. Координаты п – мерного вектора а можно расположить либо в строку = (а1, а2, …ап) либо в столбец = 
, эти записи называются соответственно вектором – строкой, и вектором – столбцом.
Два вектора с одним и тем же числом координат = (а1, а2, …аn) и = (b1, b2, …bn) называются равными, если их соответствующие координаты равны т.е. a1=b1, a2=b2 …an=bn. Вектор все координаты которого равны нулю называется нулевым: о = (0,0,…0).
Операции над векторами. Для п – мерных векторов справедливы все те операции для трех мерных векторов о которых мы говорили ранее. Например:
Cos 
и т.д.
Введем еще одно важное свойство векторов. Векторы и называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю т.е. · =0
Это условие для трех мерного пространства мы называем условием перпендикулярности векторов и .
