Продуктивные модели Леонтьева

Матрица А все элементы которой неотрицательны называется продуктивной если для любого вектора Y с неотрицательными компонентами существует решение уравнения баланса причем все элементы вектора Х > 0. В таком случае модель Леонтьева называется продуктивной.

Существует математическая теория исследования и решения уравнения баланса. Не вдаваясь в подробности, остановимся на некоторых основных моментах.

Теорема. Если для матрицы А с положительными элементами и вектора Y с положительными компонентами уравнение баланса имеет решение Х с положительными компонентами, то А – продуктивна. Иными словами достаточно установить наличие положительного решения уравнения баланса хотя бы для одного значения вектора Y, чтобы матрица А была продуктивна. Перепишем уравнение баланса с использованием единичной матрицы в виде:

Если существует обратная матрица (Е –А)^-1, то существует и единственное решение этого уравнения.

(1)

Матрица (Е –А)^-1 – называется матрицей полных затрат.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Один из них говорит, что А продуктивна, если сумма её элементов по любому её столбцу (строк) не превосходит единицы:

 

 

и существует номер j, что

 

Выясним экономический смысл матрицы полных затрат S = (Е –А)^-1, для чего зададимся единичными векторами конечного продукта Y₁(1,0,0,0…0), Y₂(0,1…0),..Y_n(0,…1) тогда по (1) соответствующие вектора валового продукта будут:

, ,

Следовательно, каждый элемент S_ij матрицы S есть величина валового выпуска продукции i – отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j – ой отросли Y_j = 1 (j = 1,n).

 

 

III. Элементы векторной алгебры

Основные понятия

Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Примерами являются: длинна, площадь объем, работа, масса.

Величины, которые определяются не только своим численным значением, но и направлением называются векторами, пример – скорость, сила.

Определение. Направленный отрезок, на котором задано начало, конец и направление называется вектором. Если А и В – начало и конец, то вектор можно обозначить или .

А B

Расстояние между началом и концом вектора называют его длиной.

1. Векторы и называют коллинеарными, если они лежат на одной или параллельных прямых.

2. Векторы и называют равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны.

В любой системе координат вектор можно охарактеризовать своими координатами =(x,y,z). Пусть в системе координат OXYZ координаты начала и конца вектора соответственно А (x ₁, y ₁, z ₁ ) и В (x ₂, y ₂, z ₂ ). Тогда координаты этого вектора определяются формулой: x = x2 - x1, y = y2-y1, z = z2-z1.

 

Длина вектора – модуль вектора:

Нулевой вектор (000). Нулевой длины.

 

 

Операции над векторами

Пусть даны два вектора =(a₁,a₂,a₃) и =(b₁,b₂,b₃)

1. Сложение. Суммой векторов и называется третий вектор =(с₁,с₂,с₃) координаты которого равны сумме соответствующих координат a и b

c₁ = a ₁+b₁, c₂= a ₂+b₂, c₃= a ₃+b₃ .

2. Произведение. Произведение вектора a ≠ 0 на число λ ≠ 0 называется вектор λ , координаты которого соответственно равны λ a₁, λ a₂, λ a₃.

Можно показать, что для получения суммы векторов нужно совместить конец вектора с началом вектора , тогда = + будет направлен от начала первого к концу второго (рис. 1).

Рис.1

Геометрический смысл умножения числа на вектор состоит в увеличении его длины в λ раз, при | λ| > 1 или сокращении в λ раз при | λ| < 1. При λ < 0 вектор λ имеет направление противоположное вектору . Вектора λ и коллинеарны.

3. Вычитание.

Под разностью векторов и понимается вектор такой, что .

 

		Рис.2

Через координаты разность векторов и будет равна вектору , причем ; ; .

Т.е.

 

4. Основные свойства линейных операций.

1. + = +

2.( + )+ = +( + )

3. λ ·(α · )=(λ· )·α

4.(α+λ)· =α· +λ·

5.λ·( + )=λ· +λ·

Пусть даны два вектора =(a₁,a₂,a₃) и =(b₁,b₂,b₃) из определений коллинеарности и произведения вектора на число следует, что a и b коллинеарны в том и только в том случае если их координаты пропорциональны

- условие коллинеарности векторов

5. Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух векторов и называют число равное

· = · ·cosα (1), где a - угол между и . Скалярное произведение можно выразить через их координаты следующим образом:

пусть даны =(a ₁, а ₂, а ₃) и =(b ₁,b₂,b₃).Тогда, · (2)

(все смешанные произведения = 0).Сопоставляя (1) и (2) получим:

 

 

;

 

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1). · = · ;

2). ( ·λ)· =( · )·λ

3). ·( + )= +

4). =| |²

5). · =0 если вектор перпендикулярен вектору .

6. Векторное произведение векторов.

Векторным произведением вектора на называется вектор с, который

а.) перпендикулярен векторам и т.е. _┴ и _┴ .

b.) имеет длину численно равную площади параллелограмма построенного на векторах и как на сторонах (рис.2), т.е. |с| = |а|·|b|·sinφ, где φ=(a^b).

с.) Векторы и должны образовывать правую тройку (три вектора образуют правую тройку векторов, если с конца третьего вектора с кротчайший поворот от первого а, ко второму b, виден совершающимся против часовой стрелки, и левую если по часовой).

Векторное произведение обозначается × = или [ ]=

Векторное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1. × = −( × )

φ

2. λ( × )=(λ )× = ×(λ )

Рис. 3

3. || только тогда, когда × =

4. ( + )× = × + ×

Векторное произведение можно выразить через координаты:

× = =

=

Где , , – единичные орты, направленные вдоль осей координат

Это легко доказывается (делать этого не будем).

7. Смешанное произведение векторов.

a

( × )· - пример смешанного произведения векторов. Здесь умножается на векторно, а затем результат на скалярно. Это пример смешанного произведения трех векторов.

 

 

Для того, чтобы понять смысл этого произведения построим параллелепипед ребрами которого являются , , и , а вектор

= × . (рис. 4)

 

		Рис. 4

 

Имеем ,

 

Где S – площадь параллелограмма, построенного на векторах и , а – высота параллелепипеда, тогда .Знак «+» если эти вектора образуют правую тройку и знак «–» если левую, где - объем параллелепипеда.

Свойства смешанного произведения:

1)

2)

3)

4)(axb)c=-(bxa)c и т.д.

Выражение смешанного произведения через координаты:

;

Без доказательства.

 

3. Векторное пространство и п – мерный вектор

Проведем обобщение ранее введенных понятий вектора и пространства для трехмерных систем на п – мерный случай.

Определение 1. Любой упорядоченный набор из п действительных чисел а₁, а₂, … а_п называется п – мерным вектором , при этом числа составляющие упомянутый набор называются координатами (компонентами) вектора .

Определение 2. Совокупность всех п – мерных векторов называется п – мерным векторным пространством R ⁿ. Координаты п – мерного вектора а можно расположить либо в строку = (а₁, а₂, …а_п) либо в столбец = , эти записи называются соответственно вектором – строкой, и вектором – столбцом.

Два вектора с одним и тем же числом координат = (а₁, а₂, …а_n) и = (b₁, b₂, …b_n) называются равными, если их соответствующие координаты равны т.е. a₁=b₁, a₂=b₂ …a_n=b_n. Вектор все координаты которого равны нулю называется нулевым: о = (0,0,…0).

Операции над векторами. Для п – мерных векторов справедливы все те операции для трех мерных векторов о которых мы говорили ранее. Например:

Cos и т.д.

Введем еще одно важное свойство векторов. Векторы и называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю т.е. · =0

Это условие для трех мерного пространства мы называем условием перпендикулярности векторов и .