Уравнение поверхности и линии в пространстве

1) Основные понятия

Поверхность в пространстве, как правило можно рассматривать как геометрическое место точек удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса R с центром в т.О₁.есть геометрическое место точек удаленных от т. О₁ на расстояние R. Прямоугольная система координат Oxyz позволяет однозначно установить соответствие между точками пространства и тройками чисел x,y,z- их координатами. Свойства, общие всем точкам, можно записать в виде уравнения, связывающего координаты всех точек поверхности. Уравнение данной поверхности в прямоугольной системе координат Oxyz называют уравнением вида F(x,y,z)=0, с тремя переменными x,y,z которому удовлетворяют координаты каждой точки лежащей на поверхности и не удовлетворяют координаты точек не лежащие на поверхности.

2) Уравнение линии в пространстве

Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей или как геометрическое место точек общих двум поверхностям. Если F₁(x,y,z)=0 и F₂(x,y,z) уравнения двух поверхностей, то координаты линии их пересечения (L) должно удовлетворять системе двух уравнений с тремя неизвестными

-это уравнение линии в пространстве.

Линию в пространстве можно рассматривать и как траекторию движения точки. В этом случае ее задают векторным уравнением r=r(t) или параметрическим уравнениями.

-проекции вектора r на оси координат.

 

3) Уравнение прямой в пространстве

1. Векторное уравнение прямой

Положение прямой в пространстве вполне определено, если задать какую-либо точку M₀ на прямой и вектор параллельный этой прямой. Вектор - называется направляющим вектором прямой. Пусть прямая L задана ее точкой M₀(x₀,y₀,z₀) и направляющим вектором (m,n,p). Возьмем на прямой L произвольную точку M(x,y,z). Обозначим радиус –

r

M

M0

L

x

y

векторы точек M₀ и M соответственно через и . Очевидно, что = + . Вектор М, лежащий на прямой L параллелен направляющему вектору , поэтому M=t , где t- скалярный множитель, называемый параметром, может принимать различные значения в зависимости от положения точки M на прямой (рис.1.). Тогда уравнение можно записать в виде = +t - векторное уравнение прямой.

2. Параметрическое уравнение прямой

Поскольку =(x,y,z), =(x₀,y₀,z₀), t =(tm,tn,tp), то уравнение прямой можно записать в виде:

. Отсюда - параметрическое уравнение прямой в пространстве.

 

Рис.1.

3. Каноническое уравнение прямой

исключая из параметрического уравнения прямой t получим:

- каноническое уравнение прямой.

4. Уравнение прямой проходящей через две точки

Пусть прямая L проходит через точки M₁(x₁,y₁,z₁) и M₂(x₂,y₂,z₂). В качестве направляющего вектора можно взять , т.е. = , следовательно, m=x₂-x₁, n=y₂-y₁, p=z₂-z₁. поскольку наша прямая проходит через т.M₁(x,y,z) то каноническое уравнение примет вид:

- уравнение прямой проходящей через две точки.

5. Угол между прямыми

Пусть L₁ и L₂ заданы уравнениями

. Под углом между этими прямыми понимают угол между направляющими векторами ₁(m₁,n_1,p₁) и ₂(m₂,n₂,p₂).Поэтому по известной формуле для косинуса угла между векторами получим или

Если L₁ перпендикулярна L₂, то в этом случае cosφ=0, следовательно

 

Если L₁ || L₂, то векторы ₁ || ₂ и координаты векторов ₁ и ₂ пропорциональны:

.

 

4) Уравнение плоскости в пространстве.

 

Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве Oxyz можно задать различными способами и каждому из них соответствует конкретное уравнение.

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору.

Пусть в пространстве Oxyz плоскость Q задана точкой M₀(x₀,y₀,z₀) и вектором =(A,B,C) перпендикулярным этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольную точку M(x,y,z) и составим вектор . Так как перпендикулярен Q, то вектор перпендикулярен вектору , поэтому их скалярное произведение , т.е.

(1)

-это уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярную вектору . Вектор n=(A,B,C) называется нормальным вектором плоскости. Придавая коэффициентам A,B,C различные значения можно получить уравнения любых плоскостей проходящих через т.M₀.

2. Общее уравнение плоскости

Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными x,y и z.

(2)

Полагая, что по крайней мере, один из коэффициентов A,B или C≠0, например B≠0, перепишем его в виде:

Сравнивая полученное уравнение с ранее полученным (1) видим, что последнее является уравнением плоскости с нормальным вектором =(A,B,C), проходящее через точку . Итак уравнение (2) определяет в пространстве Oxyz некоторую плоскость. Это уравнение и называется общим уравнением плоскости.

Частные случаи:

а) Если D=0, то . Этому уравнению отвечает т.O(0,0,0)-начало координат. Следовательно, эта плоскость проходит через начало координат;

б) Если C=0, имеем , вектор (A,B,0) перпендикулярен оси Oz. Следовательно, плоскость параллельна Oz; B=0, то || оси Oy; A=0, то || оси Ox.

в) Если C=D=0, то плоскость проходит через т.O(0,0,0) и || Oz, то есть проходит через ось Oz;

г) Если A=B=0, то Cz+D=0, то есть Z= , плоскость || плоскости Oxy;

д) Если A=B=D=0, то Cz=0, то есть Z=0, это уравнение плоскости Oxy.

3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Три точки в пространстве не лежащие на одной прямой определяют единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости Q,проходящей через три данных точки M₁(x₁,y₁,z₁), M₂(x₂,y₂,z₂) и M₃(x₃,y₃,z₃), не лежащие на одной прямой. Возьмем на плоскости произвольную точку M(x,y,z) и составим векторы ; и . Эти векторы компланарны. Используя условия компланарности трех векторов (их смешанное произведение=0) получим:

т.е.

(1)

-это уравнение есть уравнение плоскости, проходящей через три точки.

4. Уравнение плоскости в отрезках

Пусть плоскость отсекает на осях Ox, Oy и Oz соответственно отрезки ,b,c. То есть она проходит через три точки A(,0,0),B(0,b0) и C(0,0,c). Подставляя в уравнение (1) получим:

 

=0. Раскрыв определитель имеем:

или -уравнение плоскости в отрезках на осях.

5. Нормальное уравнение плоскости

Положение плоскости Q можно определить заданием единичного вектора , совпадающего с направлением OK – перпендикуляром, опущенным из начала координат на плоскость и длинной этого перпендикуляра (рис.2)

Рис.2.

M

k

x

y

Пусть OK=P, а α, β и γ-углы, образованные вектором с осями Ox, Oy и Oz. Тогда = . Возьмем на плоскости произвольную точку M(x,y,z) и соединим ее с началом координат. Образуем вектор

= =(x,y,z). При любом положении

точки M на плоскости Q проекция вектора на направление вектора всегда равно p.

т.е. или - это нормальное уравнение плоскости. Зная координаты r и e можно его переписать в следующей форме:

6. Угол между двумя плоскостями

пусть заданы две плоскости Q₁ и Q₂:

Под углом между плоскостями понимают один из двугранных углов образованных этими плоскостями. Угол φ между нормальными векторами (A₁,B₁,C₁) и (A₂,B₂,C₂) плоскостей Q₁ Q₂ равен одному из этих углов. Поэтому или . Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части. Если Q₁ перпендикулярнa Q₂, то вектор перпендикулярен вектору , тогда вектор =0, то есть .

полученное равенство есть условие перпендикулярности Q₁ и Q₂. Если Q₁ || Q₂, то || , тогда координаты векторов пропорциональны, то есть - это условие параллельности Q₁ и Q₂.

7. Расстояние от точки до плоскости.

z

Пусть дана точка M₀(x₀,y₀,z₀) и плоскость Q с уравнением (Pис.3) Найдем d- расстояние от точки до плоскости. Расстояние d от точки M₀ до плоскости Q равно модулю проекции вектора M₁M₀ (Рис.3), где M₁(x₁,y₁,z₁)- произвольная точка плоскости Q на направление нормального вектора =(A,B,C). Следовательно =

 

 

M0

Q

=

d

Так как т.M₁ принадлежит Q, то

M1

y

,и , тогда уравнение примет вид:

X

Рис.3 .

8 .Угол между прямой и плоскостью

Пусть плоскость задана уравнением , а прямая L уравнением

L

Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость.

Рис.4

Пусть φ- угол между Q и L, а - угол между =(A,B,C) и =(m,n,p) (Рис.4). Тогда

,а и так как Sinφ≥0 получим:

-искомый результат.

Если L || Q, то , поэтому =0, то есть является условием параллельности L и Q.

Если L Q, то и ||, поэтому -условия перпендикулярности L и Q.

9. Пересечение прямой с плоскостью

Найти точку пересечения прямой с плоскостью .

 

Для этого надо решить систему этих уравнений. Проще всего это сделать если записать уравнение прямой в параметрической форме:

Подставляя эти значения в уравнение плоскости получим или , если L не || Q, то есть если , то получим , подставляя t в записанные выше уравнение прямой в параметрической форме координат, получим их значения в точке пересечения L и Q.