Распределение случайных величин

В теории вероятностей под распределением случайной величины понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями или, в статистике, между наблюдаемыми величинами и их частотами.

Распределение, когда на центральную часть значений приходятся наибольшие частоты, а на крайние значение – меньшие частоты принято называть нормальным. график такой случайной величины выглядит следующим образом:

Надо знать, что кроме нормального распределения случайных величин есть также другие виды, подробнее о них можно узнать в литературе по математической статистике: биномиальное, пуассоновское, показательное, равномерное и др.

Пример 1. Дана таблица распределения веса почтовых отправлений за текущий месяц.

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение, моду и медиану данной случайной величины:

Интервалы ∆ i	(6; 10)	(10; 14)	(14; 18)	(18; 22)	(22; 26)	(26; 30)	(30; 34)	(34; 38)
Частоты ni

Объем выборки, по которой построен статистический ряд, равен n = 4+15+38+58+50+26+8+1= 200 - получают суммированием частот из второй строки таблицы. Относительные частоты вычисляем по формуле

Интервалы ∆ i	(6; 10)	(10; 14)	(14; 18)	(18; 22)	(22; 26)	(26; 30)	(30; 34)	(34; 38)
Частоты ni
Относ.част. ω i	0,02	0,075	0,19	0,29	0,25	0,13	0,04	0,005
Середины xi*

Сумма относительных частот должна равняться единице. Для построения гистограммы надо над каждым интервалом статистического ряда построить прямоугольник, площадь которого равна соответствующей относительной частоте. Высоты этих прямоугольников определяем по формуле , где ∆=4 длина интервала в статистической таблице. С точностью до третьего знака после запятой получаем: h1=0,005, h2=0,019, h3=0,048, h4=0,068, h5=0,073, h6=0,032, h7=0,01, h8=0,001..

Для построения полигона частот найдем середины каждого из интервалов и отметим частоту для каждого из значений. Соединим их ломаной линией.

Модой данной величины будет интервал 18 – 22 (т.к. таких посылок было отправлено больше всего).

Медиана – лежит также в интервале 18-22 (т.к. это находится посередине выборки. И если разделить все посылки (200 шт.) пополам, граница между половинками будет именно в интервале 18-22

Для расчета математического ожидания, найдем вероятности появления почтовых отправлений (которые соответствуют относительным частотам). Всего было отправлено, значит:

Относ.част. ω i	0,02	0,075	0,19	0,29	0,25	0,13	0,04	0,005
Середины xi*

Основные численные методы

Для некоторых подынтегральных функций интеграл можно вычислить аналитически, найти в справочниках или оценить с помощью асимптотических рядов. Однако в общем случае может быть не определена: либо первообразные не выражаются через элементарные функции, либо сами подынтегральные функции не являются элементарными. Это приводит к необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных интегралов.