Объединением (или суммой) нескольких случайных событий называется событие, состоящее в осуществлении по крайней мере одного из данных событий. Объединение событий А1, А2,..., Аnобозначается через А1∪ А2∪... ∪ Аn или А1 + А2 +... + Аn. Если объединяемые события несовместны (никакие два из них не могут произойти одновременно), то вероятность объединения нескольких событий равна сумме вероятностей объединяемых событий (аксиома сложения вероятностей):
P(А1∪ А2∪... ∪ Аn) = P(А1) + P(А2) +... + P(Аn)
Событие, состоящее в ненаступлении случайного события А, называется событием, противоположным событию А, и обозначается через 
. Объединение событий А и дает событие достоверное, а так как события А и несовместны, то
P(A) + P() = 1, или Р() = 1 - Р(А).
Если в результате данного испытания может наступить лишь одно из несовместных событий А1, А2,..., Аn, то события А1, А2,..., Аn образуют так называемую полную группу событий. Так как объединение событий полной группы является событие достоверным, то для таких событий имеет место равенство
P(А1) + P(А2) +... + P(Аn) = 1
Пересечением (или совмещением, произведением) двух случайных событий А1 и А2называется сложное событие, заключающееся в одновременном или последовательном осуществлении обоих событий. Совмещение событий А1 и А2 обозначается через А1∩А2 или А1А2. Под условной вероятностью события А2 по отношению к событию А1 [обозначается Р(А2/А1)] понимается вероятность осуществления события А2, определенная в предположении, что событие А1имело место. Вероятность совмещения двух событий А1 и А1 равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго по отношению к первому (аксиома умножения вероятностей):
P(А1∩А2) = P(А1) · Р(А2/А1) = P(А2) · Р(А1/А2).
Два случайных события А1 и А2 называются независимыми, если условная вероятность одного из них по отношению к другому равна безусловной вероятности этого же события: Р(А2/А1) = P(А2). В этом случае имеют место равенства:
P(А2/ 1) = P(А2/A1) = P(А2); P(А1/A2) = P(А1/ 2) = P(А1);
Для независимых событий вероятность их совмещения равна произведению их вероятностей:
P(А1∩А2) = P(А1) · Р(А2)
Пример 1. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих, 254 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар: белый; черный; синий; красный; белый или черный; красный или синий; белый,черный или синий.
Решение. Имеем n=10+15+20+25=70, Р(Б)=10/70=1/7, Р(Ч)=15/70=3/14, Р(С)=20/70=2/7, Р(К)=25/70=5/14. Применив аксиому сложения вероятностей получим:
Р(Б+Ч)=Р(Б)+Р(Ч)=1/7+3/14=5/14
Р(С+К)=Р(С)+Р(К)=2/7+5/14=9/14
Р(Б+Ч+С)=1 - Р(К)=1-5/14=9/14
Пример 2. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров, во втором ящике 8 белых и 4 черный шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара белые?
Решение. В данном случае речь идет о совмещении событий А и В, где событие А – появление белого шара из первого ящика. При этом В и А – независимые события. Имеем Р(А)=2/12=1/6, Р(В)=8/12=2/3. Применим аксиому умножения вероятностей, находим:
Р(А*В)=(1/6)*(2/3)=1/9
Пример 3. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго - 0,8, для третьего - 0,9. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель и вероятность того, что в цель попадет хотя бы один стрелок.
Решение. Имеем Р(A) = 0,75, P(B)=0,8, P(C)=0,9. Тогда вероятность, что все три стрелка попадут в цель Р(А∩В∩С)=P(A)·P(B)·P(C)=0,75·0,8·0,9=0,54.
Вероятность промаха первого стрелка: Р()=1-Р(А)=1-0,75=0,25. Вероятность промаха второго и третьего стрелка соответственно 0,2 и 0,1. Тогда вероятность одновременного промаха всех стрелков 0,25·0,2·0,1=0,005. Но событие, противоположное к этому, является событие, заключающееся в поражении цели хотя бы одним стрелком. Следовательно, искомая вероятность равна 1-0,005=0,995.
