При определении предела тригонометрической функции можно независимую переменную заменить ее предельным значением, если оно принадлежит области существования функции:
| 
| 
|
| 
| 
|
Примеры:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
- не существует, как 
нельзя приписать никакого числового значения.
Задача 16.1
Найти 
.
Решение.
На основании приведенного выше правила для отыскания предела тригонометрических функций 
, а потому, когда 
, 
; 
и мы имеем дело с отношением двух бесконечно малых функций. Требуется, как уже хорошо известно читателю, специальное исследование, чтобы решить вопрос о пределе Зная. Что 
, имеем 
.
Задача 16.2
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Ответ. 
Задача 16.3
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Указание. Под знаком предела находится при 
отношение двух бесконечно малых функций. Следует числитель разложить на множители:
.
Заменить дроби
Если под знаком предела имеется сумма или разность тригонометрических функций, часто бывает полезным преобразовать их в произведение по известным формулам тригонометрии.
Учесть, что 
; 
Ответ. 
.
Задача 16.4
Найти 
.
Решение.
При 
и числитель, и знаменатель дроби – функции бесконечно малые:
[7]
Аналогические рассуждения провести и по отношению к знаменателю. Имеем
Задача 16.5
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Ответ. 
.
При решении остальных задач этого практического занятия следует иметь в виду, что
(16.1) 
Задача 16.6
Найти 
(
- величина постоянная).
Решение.
Иногда при отыскании предела полезно произвести замену переменной с тем, чтобы упростить отыскание предела и использовать уже известные пределы.
Если под знаком предела делается переменной, то все величины, входящие под знак предела должны быть выражены через эту новую переменную, и из равенства, выражающего зависимость между старой переменной и новой, должен быть определен предел новой переменной.
Для решения предложенной задачи сделаем такую подстановку: 
Из этого равенства следует, что 
, когда 
, а 
. Тогда 
, так как 
Следует запомнить, что
(16.2) 
Задача 16.7
Найти 
.
Решение.
Мы разделили числитель дроби на 
. Это можно было сделать, так как значение 
не должно рассматриваться. При вычислении предела числителя и знаменателя последней дроби использована формула(16.2).
Задача 16.8
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Ответ. 
Задача 16.9
Найти 
Решение.
Задача 16.10
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Указание. Числитель и знаменатель дроби разделить на 
и перейти к пределу. Использовать решение предыдущей задачи.
Ответ. 
Задача 16.11
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Указание. Дробь, стоящую под знаком предела, записать так:
Использовать теорему о пределе произведения [8].
Ответ. 
Задача 16.12
Найти 
.
Решение.
При 
числитель и знаменатель дроби – бесконечно малые функции. Воспользуемся тем, что 
и тогда
(мы использовали формулу (16.2). в нашем случае 
).
Задача 16.13
Найти 
.
Решение.
При 
функции 
и 
- бесконечно большие функции; таким образом, под знаком предела находится разность двух бесконечно больших функций. Теорему (14.5а о пределе разности применить нельзя, так как не существует конечных пределов каждой из функций 
и 
при 
.
Преобразуем эту разность так:
После этого получим
К последней дроби можно было применить теорему о пределе дроби, так как предел знаменателя равен2, а числитель дроби имеет конечный предел 0.
Задача 16.14
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Указание. Числитель дроби равен 
; использовать так же формулу (16.2).
Ответ. 
Задача 16.15
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Указание. При 
функция 
- бесконечно большая. а 
- величина бесконечно малая. Значит, мы имеем произведение функции бесконечно большой на бесконечно малую и требуется специальное исследование, чтобы определить предел этого произведения.
Учесть, что 
, а поэтому 
. На основании формулы (16.1) 
.
Ответ. 1.
Задача 16.16
(для самостоятельного решения). Найти 
Указание. 
.
Ответ. 
Задача 16.17
(для самостоятельного решения).Найти 
.
Указание. Представить числитель в виде 
,
а знаменатель 
.
Сократить дробь и перейти к пределу.
Ответ. 
Задача 16.18
Найти 
.
Решение.
При 
не существует предела 
, а потому нельзя применить теорему (14.5в) о пределе произведения. Сделаем в нашем примере подстановку: 
. Когда 
, то новая переменная 
, так как
Если 
, то 
; выражение стоящее под знаком предела, перепишется так:
.
Поэтому
.
Задача 16.19
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Указание. 1) 
. Преобразовать дробь к виду 
.
Ответ. 
Задача 16.20
(для самостоятельного решения). Найти
1) 
;
2) 
.
Указания. 1) В первом примере умножить числитель и знаменатель дроби на 
, сократить дробь и перейти к пределу. 2) во втором примере перенести иррациональность в знаменатель, сократить дробь на 
и перейти к пределу.
Ответ. 1) 
; 2) 
.
Задача 16.21
(для самостоятельного решения). Найти
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Ответ. 1) 
; 2) 
; 3) 
.
Указание. В первом приделе числитель и знаменатель дроби разделить на 
, во втором положить 
, в третьем примере 
; 
.
[1] *Некоторые авторы, например Г.П. Толстов в учебнике «Курс математического анализа», называют эти совокупности чисел не «полуотрезками» а «полуинтервалами».
[2] Многозначные функции нами не рассматриваются
[3] Здесь 
- произвольная точка области определения функции, а 
- период функции.
[4] Натуральными числами называются все целые положительные числа.
[5] Если 
то 
.
[6] Деление на 
допустимо, так как предполагается, что 
.
[7] 
, где 
- любое целое число. Если не сделать этой оговорки, то, например, при 
будет 
, а 
не имеет числового смысла.
[8] Можно поступить и так: 
