Обратная функция и ее график
Если функциональная зависимость 
от 
задана аналитически уравнением 
, из которого можно определить 
как функцию от 
уравнением 
так, что каждому значению 
соответствует единственное значение 
, то функция, определяемая уравнением 
, называется обратной по отношению к функции 
, которая в этой связи называется прямой. В уравнении 
величина 
—называется переменная, а 
—функция. Для того чтобы сохранить стандартные обозначения, в которых 
обозначает независимую переменную, а 
—функцию, в уравнении 
следует заменить 
буквой 
, а 
—буквой 
. Именно так полученную функцию 
мы и будем считать обратной по отношению к функции 
. График обратной функции 
симметричен графику прямой функции 
относительно биссектрисы первого и третьего координатных узлов.
Задача 9.1
Найти функцию, обратную функции 
, и построить ее график.
Решение.
Находим из данного уравнения 
в зависимости от 
: 
. Заменяя в этом равенстве 
на 
, а 
на 
, получаем окончательно 
.
Графики заданной функции и ей обратной представлены на фиг.9.1.
Задача 9.2
Найти функцию, обратную функции 
.
Решение.
Из уравнения 
видно, что значение функции 
заполняют полуотрезок 
. Если это уравнение разрешить относительно 
, то получим уравнение 
, из которого видно, что каждому значению 
из полуотрезка 
соответствует не одно, а два значения 
из интервала 
. Отсюда мы заключаем, что если функцию 
рассматривать на интервале , то для ее обратной функции не существует (
через 
выражается не однозначно).
Если будем рассматривать данную функцию 
только для положительных значений 
и 
, т.е. значений 
из полуотрезка , тогда 
и каждому значению 
соответствует не два, а только одно значение 
, обратная функция теперь существует и определяется уравнением 
(фиг.9.2).
Если данную функцию 
рассматривают только для значений 
, то она и в этом случае будет иметь обратную функцию. Действительно, в этом случае 
, каждому значению 
соответствует единственное значение 
, и обратная функция определяется уравнением 
.
Задача 9.3
(для самостоятельного решения). Убедиться, что на интервале 
функция 
не имеет обратной функции, а на отрезке 
— имеет.
Задача 9.4
Найти функцию, обратную функции 
.
Решение.
1) Находим 
в зависимости от 
:
; 
.
2) Заменим в последнем выражении 
на 
, а 
на 
и получим 
. Это и есть функция, обратная данной.
Задача 9.5
(для самостоятельного решения). Найти функции, обратные данным:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Ответ.
1) 
;
2) 
;
3) 
.
При каких значениях 
могут рассматриваться эти функции?
Задача 9.6
(для самостоятельного решения).Найти функцию, обратную функции 
, и построить ее график, пользуясь свойством графика обратной функции.
Задача 9.7
(для самостоятельного решения). Определить функции обратные следующим функциям:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
.
Указание. Заданную функцию рассмотреть сначала для значений 
,а потом для значений 
.
Ответ.
1) 
;
2) 
, область существования – два бесконечных интервала: 
; 
;
3) 
, область существования – интервалы 
и 
4) 
, область существования— 
;
5) 
;
6) 
.
Периодические функции
