Число 
называется пределом функции 
при 
, стремящемся к 
(или в точке 
), если для любого наперед заданного положительного числа 
(хотя бы и как угодно малого) можно найти такое положительное число 
, что для всех значений 
, входящих в область определения функции, отличных от 
и удовлетворяющих условию 
, имеет место неравенство 
.
Короче: число 
называется пределом функции 
при 
, стремящемся к 
, если выполнение неравенства 
влечет за собой выполнение неравенства 
, где 
- наперед заданное число, а 
соответствующим образом подобрано.
В определении предела функции следует обратить внимание на то, что вовсе не требуется, чтобы функция 
была непременно определена в точке 
. Для того чтобы функция 
имела возможность стремиться к пределу при 
, необходимо лишь чтобы в области ее существования были точки, как угодно близкие к 
и отличные от 
.
14.1. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
а) Функция 
называется бесконечно малой при 
, если
(14.1) 
.
б) Функция 
называется бесконечно большой при 
если имеет место одно из равенств
.
с) Функция 
называется ограниченной при 
, если существует такое положительное число 
, что для всех значений 
из окрестности числа 
выполняется неравенство 
.
14.2. Свойства бесконечно малых функций.
а) Если функция 
бесконечно мала при 
, то и 
также мала при .
б) Если функции 
и 
бесконечно малы при 
, то сумма их, а также и разность их: 
и 
бесконечно малы при 
(это утверждение распространяется на любое фиксированное число функций).
с) Если при 
функция 
бесконечно мала, а функция 
- ограничена, то их произведение 
есть функция бесконечно малая.
14.3. Свойства бесконечно малых функций.
Если при 
функция 
имеет конечный предел 
, а функция 
- бесконечно велика 
, то
а) сумма их – бесконечно велика, т.е. 
. Предел отношения 
к 
равен нулю: 
.
б) если 
, а 
, причем 
положительна в окрестности точки 
, то 
.
с) при положительном 
, если 
, то 
.
д) произведение двух бесконечно больших функций бесконечно большая, т.е если 
и 
, то и .
14.4. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями:
а) Если при 
- бесконечно большая функция, то функция 
бесконечно малая.
б) Если при функция 
бесконечно мала, то функция 
- бесконечно большая, причем предполагается, что в окрестности точки 
функция в нуль на обращается.
14.5. Правила предельного перехода.
а) Если при 
функция 
и имеют конечные пределы, то и алгебраическая сумма их 
имеет предел, который равен сумме их пределов, т.е. если 
, а 
, то 
.
Короче (но не совсем точно): предел алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме пределов этих функций.
б) Если при функции и имеют пределы, то их произведение 
также имеет предел, который равен произведению их пределов, т.е. если , а , то 
.
Короче (но не совсем точно): предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций. Свойства а) и б) распространяются на любое фиксированное число функций.
с) Если при функции и имеют пределы и предел функции равен нулю, то предел их частного существует и равен частному от деления их пределов, т.е. если , а 
, то 
Короче (но не совсем точно): предел частного равен частному пределов если предел знаменателя не равен нулю.
14.6. Предел целой рациональной функции.
Если
То
(14.2) 
т.е. при отыскании предела целой рациональной функции можно в аналитическом выражении функции заменить аргумент его предельным значением.
14.7. Предел дробно-рациональной функции.
Если
,
То
(14.3) 
, если 
т.е. при отыскании предела дробно-рациональной функции можно в аналитическом выражении функции заменить аргумент его предельным значением, если при этом предельном значении знаменатель не обращается в нуль.
Задача 14.1
Найти 
.
Решение.
Функция 
- целая рациональная. Для отыскания ее предела применима формула (14.2). Заменим в аналитическом выражении функции 
его предельным значением и получим
.
Задача 14.2
(для самостоятельного решения). Найти
1) 
;
2) 
.
Ответ.
1) 
;
2) 
.
Указание. Воспользоваться формулой (14.2).
Задача 14.3
Найти 
.
Решение.
Здесь отыскивается предел дробно-рациональной функции. Прежде чем применять (14.3), надо проверить, не обращается ли в нуль знаменатель дроби при 
. Проверяем: 
Задача 14.4
(для самостоятельного решения). Найти переделы:
1) 
;
2) 
.
Указания. 1) Проверить, что знаменатель дроби в первом примере при 
, а во втором при 
не обращается в ноль; 2) воспользоваться формулой (14.3).
Ответ.
1) 0;
2) 
.
Задача 14.5
Найти 
.
Решение.
Знаменатель дроби 
обращается в нуль при 
, а поэтому функция 
при не существует.
Теорему о пределе дроби (14.5п. с) применить нельзя, так как предел знаменателя равен нулю. По той же причине нельзя применит и формулу (14.3). Но определение предела функции содержит существующую оговорку: при отыскании предела функции 
при 
значение функции 
при 
может не рассматриваться. От функции 
это определение не требует, чтобы точка 
входила в область существования функции. Поэтому значение 
может нами не приниматься во внимание. Именно эти соображения и дадут возможность решить задачу. В нашем случае мы должны считать, что 
, стремясь к 2,никогда не становиться равным 2, а потому значение функции 
при 
нас не интересует.
При 
и числитель и знаменатель, и знаменатель дроби обращается в нуль. Мы имеем в данном случае отношение двух бесконечно малых функций, о котором без специального исследования ничего определенного сказать нельзя. Для решения задачи разделим числитель и знаменатель дроби на 
. Мы имеем право это сделать потому, что значение 
не рассматривается и, значит, 
Если бы указанной оговорки а определении предела функции не было и мы должны были бы рассматривать и значение 
, то разделить числитель и знаменатель дроби на 
мы не смогли бы, так как такое деление означало бы деление числителя и знаменателя дроби на нуль, что, конечно, недопустимо. После сокращения дроби на 
получим
,
И нам придется отыскать предел на данной функции, а функции 
. Тогда перед учащимся должен возникнуть такой вопрос: тождественны ли функции и . Этот вопрос имеет положительный ответ: функции тождественны, если не рассматривать значения 
. Следует иметь ввиду, что две функции тождественны, если они удовлетворяют таким двум требованиям:
1) Их области существования совпадают и
2) При одном и том же значении аргумента, взятом из области существования функции, численные значения функции равны.
В нашем случае эти два требования будут выполнены, если не рассматривать значения 
, но ведь оно и не рассматривается. Таким образом,
Так как функция 
-целая рациональная функция и для определения ее предела на основании формулы (14.2) следует в аналитическом выражении функции заменить аргумент его предельным значением.
Можно указать такое
Правило. Для того чтобы определить предел дробно-рациональной функции в случае, когда при 
числитель и знаменатель дроби имеют пределы, равные нулю, надо числитель и знаменатель дроби разделить на 
и перейти к пределу.
Если и после этого числитель и знаменатель новой дроби имеют пределы, равные нулю при 
, то надо произвести повторное деление на 
(это правило основывается на известном из элементарной алгебры следствии из теоремы Безу, согласно которому, если многочлен обращается в нуль при 
, то он делится без остатка на 
).
Теперь для самостоятельного решения будет предложен ряд задач на определение предела дробно-рациональной функции.
Задача 14.6
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Указание. При 
числитель и знаменатель дроби – функции бесконечно малые, пределы их равны нулю. Об их отношении без специального исследовании ничего определенного сказать нельзя. Теорему 14.5п. 
о пределе дроби применить нельзя, так как предел знаменателя равен нулю. Следует применить указанное правило; разделить числитель и знаменатель дроби на 
. Повторить рассуждения предыдущей задачи о допустимости такого решения.
Ответ. 
Следует не только запомнить тот или иной прием, но главное - понять, на чем основано его применение, и каждое действие проводить совершенно сознательно, а не автоматически, «по правилам». Применяя правило, надо понимать те положения, из которых оно выведено.
Задача 14.7
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Указание. Здесь опять-таки функции, состоящие в числителе и знаменателе дроби, бесконечно малы при 
. Для решения вопроса о предел их отношения следует разделить числитель и знаменатель дроби на 
. Этим указанием воспользуйтесь и при решении двух следующих задач.
Ответ. 
Задача 14.8
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Ответ. 
Задача 14.9
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Ответ. 
.
Задача 14.10
Найти 
(
и 
- целые положительные числа).
Решение.
При 
числитель и знаменатель дроби имеют предел, равный нулю, а поэтому это функции бесконечно малы. Для решения вопроса о пределе их отношения следует числитель и знаменатель разделить на 
. Допустимость такого деления подробно была объяснена в задаче (14.5). Повторяем, что 
, стремясь к 1, не становится равным 1, а потому 
, и деление на 
имеет смысл.
Функция 
при 
не существует, но значение 
нашему рассмотрению не должно подлежать. Воспользуемся известной формулой алгебры
(14.4) 
Полагая здесь 
, а 
, в нашем случае получим
Задача 14.11
Найти 
.
Решение.
При 
числитель и знаменатель дроби имеют пределы, равные нулю, а потом это функции – бесконечно малые. Чтобы можно было применить формулу (14.4), с помощью которой была решена предыдущая задача, следует сделать подстановку 
, где показатель степени 35 – наименьшее кратное показателей корней.
Если 
, то 
, а 
, и тогда 
Причем 
, когда 
, и задача перепишется так:
Теперь следует разделить числитель и знаменатель дроби на 
применить формулу (14.3).
Ответ. 
.
Задача 14.12
(для самостоятельного решения). Найти:
1) 
;
2) 
.
Ответ.
1) 
;
2) 
.
Задача 14.13
Найти 
.
Решение.
При 
имеем
Придел числителя:
.
Предел знаменателя:
.
Теорема (14.5 п.с) о пределе дроби неприменима. Рассмотрим обратную дробь 
, и не предел при 
(здесь теорема о пределе дроби применима, так как предел знаменателя 
не равен нулю). Так как предел функции равен нулю, то эта функция при 
бесконечно малая, а потом функция при 
- бесконечно большая, и тогда ее предел 
(мы воспользовались теоремой 14.4 пункт (б).
Задача 14.14
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Ответ. 
Задача 14.15
(для самостоятельного решения). Найти 
Ответ. 
.
Задача 14.22
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Указание. Произвести вычитание дробей.
Ответ. 
Задача 14.16
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Ответ. 
.
Указание. После приведения к общему знаменателю окажется, что при 
числитель и знаменатель - функции бесконечно малые. Воспользоваться указанным на стр. 304 правилом.
ПЯТНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание. Продолжение упражнений на нахождение предела функции.
Решим несколько задач на нахождение предела дробно-рациональной функции при 
.
Задача 15.1
Найти 
.
Решение.
Для того чтобы можно было применить теорему о пределе дроби, надо, чтобы числитель и знаменатель дроби имели приделы и чтобы придел знаменателя не был равен нулю. В данном случае это теорема неприменима, так как пределы числителя и знаменателя дроби не существуют При 
и числитель и знаменатель дроби функции бесконечно большие (см. теоремы 14.4 о свойствах бесконечно больших функций. Рекомендуется еще раз повторить эти теоремы). Значит мы имеем дело с отношением бесконечно больших функций. Об этом отношении, так же как и об отношении двух бесконечно малых функций, ничего определенного без специального исследования сказать нельзя. Для решения задачи следует применить прием, знакомый из решения задачи 12.1 (полезно также возвратиться к задаче 12.8): дроби разделить на высшую степень 
, встречающуюся в членах дроби, а после этого перейти к пределу
Итак.
Так как при 
- величина бесконечно малая, а поэтому и 
- величины бесконечно малые (см. теоремы 14.4); 
; 
, а 
и пределы этих величин равны нулю, когда 
.
После деления числителя и знаменателя на 
оказалось возможным применить теорему о пределе дроби, так как теперь и числитель, и знаменатель дроби имеют пределы, равные соответственно 2 и 3, и предел знаменателя не равен нулю.
Для самостоятельного решения предлагается несколько логических задач.
Задача 15.2
(для самостоятельного решения). Найти:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
.
Ответ. 1) 5; 2)0; 3) 
; 4) 
; 5) 
.
Задача 15.3
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Указание. Произвести вычитание дробей.
Ответ. 
Задача 15.4
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Ответ. 
Задача 15.5
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Ответ. 16.
Решение остальных задач этого практического занятия основано на применении теоремы:
При постоянном показателе степени можно переходить по пределу в основании степени при условии, что предел основания ступени существует, т.е.
(15.1) 
Где 
- постоянная величина (для случая, когда 
- целое число, мы этой теоремой пользовались неоднократно, так как она прямо следует из теоремы о пределе произведения).
Из формулы (15.1) следует, что при любом нечетном 
всегда
(15.2) 
Если же 
- четное число, то эта формула верна только тогда, когда функция 
- неотрицательна, т.е. когда 
.
Выполним сначала ряд простых упражнений на применение этой теоремы.
Задача 15.6
Найти:
1) 
;
2) 
.
Решение.
На основании формулы (15.2) имеем:
1) 
2) 
Задача 15.7
Найти 
.
Решение.
Задача 15.8
Найти при нечетном 
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Решение.
1) 
2) 
Т.е. при 
функция 
бесконечно мала;
3) 
Так как по результатам второго примера этой задачи при 
функция 
бесконечно мала, полому функция 
- бесконечно велика.
Задача 15.9
Найти 
.
Решение.
Когда 
, числитель и знаменатель имеют своим пределом нуль, а почему они бесконечно малы:
Для того, чтобы решить вопрос о пределе их отношения, перенесем иррациональность а знаменатель, умножив для этого числитель и знаменатель дроби на 
. Будем иметь
.
Так как 
, не становясь равным нулю, то деление на 
числителя и знаменателя дроби возможно.
При решении задачи мы вместо предела функции 
отыскали предел функции 
; здесь должен быть затронут вопрос о тождественности этих функций (подобно тому как этот вопрос возник при решении задачи 14.5). О функциях 
и 
мы можем сказать, что они тождественны 
.
Таким образом, замена функции 
при отыскании предела функцией 
является законной.
При отыскании предела дроби, содержащей иррациональные выражения, в большом числе случаев приходиться с помощью преобразований переходить от заданной функции к другой заданной функции, и у учащегося должен возникать вопрос о тождественности заданной функции и той, которая получается в результате преобразований. Во всех дальнейших примерах исследованием этого вопроса мы заниматься не будем, предоставляя это читателю.
Теперь, после решения этой задачи, укажем правило для решения задач, в которых требуется определить предел дроби, содержащей иррациональные выражения в случае, когда ее числитель и знаменатель – бесконечно малые функции, т.е. когда из пределы равны нулю.
Правило. Чтобы найти предел дроби, содержащей иррациональные выражения в случае, когда предел и числителя, и знаменателя дроби равен нулю, надо перенести иррациональность из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель и после этого сделать необходимые упрощения, (приведение подобных членов, сокращение и т.д.) и перейти к пределу.
Задача 15.10
Найти 
.
Решение.
При 
числитель и знаменатель дроби имеют предел, равный нулю. Перенесем иррациональность в знаменатель, для чего умножим числитель и знаменатель на 
.
Получим
Задача 15.11
(для самостоятельного решения). Найти пределы:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
Ответ.
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
Задача 15.12
Найти 
Решение.
При 
числитель и знаменатель дроби имеет предел, равный нулю. В этой задаче придется сначала числитель и знаменатель дроби умножить на 
, а потом на 
или сразу умножить числитель и знаменатель дроби на 
. Используя это указание, получаем:
Задача 15.13
(для самостоятельного решения). Найти пределы:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
Ответ.
1) 
;
2) 0;
3) 
;
4) 
Указание. В третьем примере одним из множителей числителя будет 
. Корни этого квадратного трехчлена 
; 
, вследствие чего 
.
Задача 15.14
Найти 
.
Решение.
Здесь и предел числителя, и предел знаменателя равен нулю. Перенесем иррациональность из числителя в знаменатель. Воспользуемся известной формулой алгебры 
. Положим 
, 
. Значит, для того, чтобы получить в числителе разность кубов, надо его умножить на 
. Умножая и знаменатель на эту величину получаем
.
Задача 15.15
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Ответ. 
Задача 15.16
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Ответ. 
Задача 15.17
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Ответ. 
Задача 15.18
Найти 
.
Решение.
Здесь непосредственно теорема 4.5 не может быть применена, так как при 
пределы слагаемых не существуют: мы имеем дело с разностью двух бесконечно больших величин, о которой ничего определенного без специального исследования сказать нельзя.
Умножим и разделим данное выражение на сопряженное с ним и получим
Так как при знаменатель дроби, стоящий под знаком предела, есть функция бесконечно большая (см. задачу 15.8(3)), а потому дробь 
есть величина бесконечно малая, а ее произведение на -2 есть также бесконечно малая величина.
Задача 15.19
Найти 
. Когда 
, выражение, стоящее в скобках, есть разность двух бесконечно больших величин, о которой без специального исследования нельзя сказать ничего определенного. Умножим и раздели функцию, стоящую под знаком предела, на выражение, сопряженное с 
, т.е. на 
, и получим 
Так как 
.
Теперь рассмотрим случай, когда 
.Выражение, стоящее в скобках, имеет в этом случае положительное значение и неограниченно возрастает по абсолютной величине, множитель же 
, стоящий за скобкой, неограниченно возрастает по абсолютной величине, но сохраняет отрицательное значение Поэтому все выражение 
при 
неограниченно возрастает по абсолютной величине, сохраняя отрицательное значение и 
.
Задача 15.20
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Ответ.
При и при 
искомый предел равен 0.
Задача 15.21
Найти 
Решение.
1) Рассмотрим сначала случай :
Так как 
при 
, а мы рассматриваем арифметическое значение корня, то 
и 
, а потому 
2) Пусть 
. По-прежнему 
, но теперь 
, так как 
, а мы рассматриваем арифметическое значение корня, и 
, а 
Задача 15.22
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Указание. Учесть, что при 
имеем 
, а при 
тот же 
.
Ответ.
При 
искомый предел равен +1, а при искомый редел равен -1.
Задача 15.23
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Ответ.
при 
; 
при 
Задача 15.24
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Указание. Выражение, состоящее под знаком предела, умножить и разделить на 
, чтобы получить в числителе разность кубов. После упрощений под знаком предела будет находится выражение
.
Знаменатель дроби представить в виде
И сократить дробь на 
.
Ответ 0.
Задача 15.25
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Указание. Выражение, стоящее под знаком предела, умножить и разделить на 
и полученную дробь сократить на 
.
Ответ. 0.
ШЕСНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание. Определение пределов тригонометрических функций и упражнения на использование предела 
.
