Число 
называется пределом последовательности 
(11.1) 
(пределом переменной 
или пределом функции 
), если каково бы ни было наперед заданное положительное число 
, всегда можно найти такое натуральное число 
[4], что для всех членов последовательности с номерами 
будет выполнятся неравенство
(11.2) 
Это неравенство равносильно таким двум неравенствам:
Число 
зависит, вообще говоря, от выбранного 
.
Если уменьшить число 
, то соответствующий ему номер 
увеличится.
Для последовательности (или для переменной 
) необязательно иметь предел, но если этот предел есть, то он единственный.
Если число 
есть предел последовательности 
с общим членом 
или переменной величины 
, то это символически записывается так:
(11.3) 
.
Вместо записи (11.3) употребляется также запись
которая читается так: «
стремится к 
».
В том случае, когда переменная величина 
(последовательность (11.1) имеет предел, равный 
, говорят, что эта переменная величина или что последовательность 
сходиться к 
.
Последовательность, не имеющую предела, называют расходящейся.
Переменная величина 
может стремиться к своему пределу разными способами:
1) Оставаясь меньше своего предела,
2) Оставаясь больше своего предела,
3) Колеблясь около предела и
4) Принимая значения, равные своему пределу.
Выбор числа 
произволен, не после того как оно выбрано, никаким изменениям в дальнейшем оно не должно подвергаться.
Задача 11.1
Доказать, что последовательность с общим членом 
имеет предел, равный 1.
Решение.
Выберем произвольно положительное число 
и покажем, что для него можно определить такое натуральное число 
, что для всех номеров 
будет выполнено неравенство (11.2), в котором надо взять 
, т.е. неравенство
(11.4) 
.
После приведения ошибок к общему знаменателю получим
, или 
.
Но если 
то и 
. Из последнего неравенства следует, что 
[5], 
.
Значит, если номер 
больше, чем 
, то неравенство (11.4)будет выполняться. Теперь надо решить вопрос о числе 
, о котором идет речь в определении. За число 
можно принять наибольшее целое число, содержащееся в числе 
.
Наиболее целое число, содержащееся в числе 
, обозначается знаком 
.
На основании этого наиболее целое число, содержащееся в числе 
, надо обозначить так: 
.
Итак, можно принять
(11.5) 
(предполагается, что 
, иначе 
не будет натуральным и его надо брать равным 1).
Заключение:
По произвольно заданному положительному числу мы нашли такое натуральное число 
, что для всех номеров 
неравенство (11.4) действительно выполняется, а этим и доказано, что 1 является пределом последовательности с общим членом
.
Теперь приведенные вычисления проиллюстрируем числовым примером.
Пусть, например, 
, Тогда при 
получим из (11.5)
Таким образом, для членов последовательности с номером большим чем 99, выполняется неравенство
(11.6) 
,
Пусть 
; тогда, так как 
,
, а 
;
Если 
, то
, и 
; 
.
Из этих расчетов видно, что когда члена последовательности меньше 
неравенство (11.6) не выполняется: вместо того чтобы 
была меньше 
, мы получили, что 
. Если взять 
, т.е., например, 
тогда 
и 
, а 
. Неравенство (11.6) будет выполняться для всех номеров 
, которые больше, чем 99. Так как 
, а 
, то все члены последовательности, начиная с сотого, будут лежать на интервале 
, т.е на интервале (0,99; 1,01) (теперь возьмите для 
значение, меньше 
, например, 
. Найдите 
и убедитесь, что оно увеличивается).
Полученный результат можно записать так: 
.
Иначе можно сказать, что последовательность 
сходиться к 1.
Мы употребили запись 
, которую следует понимать так: переменная величина 
становиться все большей и большей и не существует предела для ее возрастания.
Какое бы большое число мы не задали, 
в процессе своего возрастания его превзойдет. Для того, чтобы кратко описать этот характер изменения 
, принято говорить «
стремиться к бесконечности» и записывать это так 
. Символ 
произноситься «бесконечность» и применяется для сокращенной записи слова «бесконечность».
Символ ни в коем случае не может рассматриваться как число, а потому бессмысленной является запись 
,так как 
может равняться числу и не может быть равно символу, введенному только для сокращения записи и сокращенного произношения фразы, которой заранее был придан определенный, указанный выше, смысл.
Очевидно, что последовательность 
может быть записана так:
и легко усмотреть, что она стремиться к своему пределу 1, возрастая и оставаясь меньше 1.
Задача 11.2
Доказать, что последовательность с общим членом 
имеет предел, равный 2.
Решение.
Повторим подробно все рассуждения, приведенные в предыдущей задаче. Вберем произвольно положительное число 
и покажем, что для него можно подобрать такое число 
, что для всех значений номера 
, больших этого числа 
, будет выполняться неравенство (11.2). в котором надо взять 
, т.е. будет выполняться неравенство
(11.7) 
.
Из этого неравенства после приведения в скобках к общему знаменателю получаем
,
И неравенство (11.7) запишется так: 
.
Отсюда следует, что 
(см. сноску на стр. 272) или 
.
Таким образом, если номер 
больше, чем 
, то неравенство (11.7) будет выполняться.
За 
примем небольшое целое число, содержащееся в числе 
, т.е.
(11.8) 
.
Таким образом, мы сумели по произвольно заданному положительному 
определить такое натуральное 
, что неравенство (11.7) выполняется для всех номеров 
. Этим и доказано, что 2 есть предел последовательности с общим членов 
(предполагается, что 
, так как иначе 
не будет натуральным членом. Если 
окажется отрицательным то следует взять 
).
Теперь, чтобы лучше уяснить приведенные рассуждения, приведем числовой пример: выбрано 
. Тогда из (11.8) следует, что
.
так как наибольшее целое число содержащееся в 
, есть 49.
Значит, для всех номеров 
, больших, чем 49 при 
, неравенство (11.7) будет выполняться. Начиная с пятидесятого члена все члены последовательности будут лежать в интервале 
, т.е в интервале (1,98;2,0 2). Убедимся сначала, что при 
неравенство (11.7) не выполняется. Пусть, пример, 
. Тогда, так как 
, получим, что 
и левая часть неравенства (11.7) 
.
На основании (11.7) 
должно быть меньше, чем 
, а фактически 
не меньше 
, а больше 
и, значит, неравенство (11.7) не выполняется.
При 
имеем 
и опять неравенство (11.7) не выполняется, т.к и 
, а не меньше 
.
Если же взять, например, 
то 
и 
, а 
, и неравенство (11.7) выполнено. Так будет и для всех номеров 
, которые больше, чем 49.
Теперь примите, за 
число, меньше, чем 
, например 
, и убедить, что 
увеличивается.
Итак, 
(можно сказать иначе: последовательность 
сходится к 2).
Замечание 1. В решениях двух задачах мы находили наименьший номер 
, фигурирующий в определении предела последовательности, такой, что начинается с него, неравенство (11.2) выполняется. Однако учащийся должен уяснить, что
1) Если это неравенство выполняется, начиная с номера 
, то оно будет выполняться и подавно при всех номерах 
, больших чем 
;
2) Заданием число 
номер 
определяется неоднозначно и
3) Для доказательства того, что 
, вовсе нет необходимости среди всех номеров 
искать наименьший. Так, в задаче 11.1, установив, что неравенство (11.4) выполняется для всех 
, мы могла дальше не вести никаких рассуждений.
Замечание 2. Выше было указано что если последовательность имеет предел, то этот предел – единственный: двух различных пределов последовательность иметь не может.
В последней задаче мы доказали, что пределом последовательности 
является 2.
Покажем, что, например, число 3 не может быть пределов этой последовательности.
Рассмотрим абсолютную величину разности
и решаем относительно 
неравенство 
.
При любом целом и положительном 
(а номер 
может быть только числом целым и положительным) число 
, а поэтому оно не может быть меньше произвольно заданного положительного числа 
. Этим мы показали, что число 3 не может служить пределом последовательности 
.
Теперь самостоятельно решите простую задачу.
Задача 11.3
(для самостоятельного решения). Доказать, что переменная 
имеет предел, равный нулю (следует запомнить, что 
).
Произносится эта запись так: «предел 
, когда 
стремится к бесконечности, равен нулю». Вместо того чтобы писать можно употребить запись 
при 
, которую следует читать как: «
стремится к нулю при 
, стремящемся к бесконечности». Из того, что , следует, что 
и 
.
Сокращенно это можно записать так: 
при 
, 
при 
.
Задача 11.4
Доказать, что последовательность 
сходится к нулю, если абсолютная величина 
меньше 1, т. с. если 
.
Решение.
Чтобы доказать требуемое, возьмем произвольное положительное число 
и убедимся, что можно будет определить такое 
, что для номеров 
, больших 
будет выполняться неравенство
(11.9) 
(в неравенстве (11.2) надо взять 
).
Учитывая, что по условию 
можно заключить, что 
, т. е. можно полагать, что 
равно 
, где 
– число положительное.
а поэтому 
, или 
.
Выберем 
так, чтобы знаменатель дроби 
стал больше, чем 
. Тогда окажется, что и подавно 
, т.е. 
, и неравенство (11.9) будет выполняться, так как из него следует, что 
. Но если 
, то 
. Значит, можно в качестве 
выбрать наибольшее целое число, содержащееся в числе 
, т.е. взять 
, и при этом неравенство (11.9) будет выполняться при всех номерах 
. Таим образом доказано, что 
.
Надо заметить, что если 
, то 
(
,когда 
вычислен в задаче 13.1).
Если, например, 
то последовательность запишется так: 
, и переменная 
, монотонно убывая (здесь каждое следующее значение переменной меньше предыдущего).
Если 
, то последовательность запишется так: 
.
И эта последовательность, как доказано, сходиться к нулю 
.
Однако здесь уже переменная величина 
стремиться к своему пределу – нулю, применяя значения, то меньше нуля, то больше его. Можно сказать, что переменная в данном случае колеблется около нуля.
Запишем эту последовательность в виде
Ясно, что и эта последовательность сходиться к нулю, но теперь она содержит бесконечное множество членов, равных нулю. Это тот случай, когда переменная, стремясь к пределу, становится равной ему, причем это имеет место бесконечное множество раз.
Задача 11.5
Доказать, что последовательность 
не имеет предела.
Решение.
Мы докажем требуемое, если установим, что общий член этой последовательности 
превзойдет любое наперед заданное число.
Пусть 
такое число. Возьмем 
. Тогда 
; 
, и подавно 
, или 
. Тем самым показано, что 
может превзойти любое число 
. Если бы существовал предел переменной 
, и был равен 
, то для любого 
можно было бы подобрать такое 
, что при номерах 
выполнялись бы неравенства 
, т.е. 
, а это противоречит доказательству, так как 
при 
превзойдет любое число 
, а тем самым и число 
, меньше которого оно должно оставаться. Это противоречие и доказывает, что последовательность 
предела не имеет. Этот пример иллюстрирует утверждение: не всякая последовательность имеет предел.
Задача 11.6
Доказать, пользуясь определением предела последовательности, что последовательность с общим членом 
имеет предел 
.
Решение.
Подставим значения и в неравенство (11.2)и получим
(11.10) 
.
.
Вместо неравенства (11.10) теперь имеем неравенство 
.
Решим это неравенство относительно 
:
, 
, 
;
.
Таким образом, если 
удовлетворяет последнему неравенству, то неравенство (11.10) будет выполняться при любом 
. Тем самым мы доказали, что 
, а за 
можно принять 
.
Определим из этого равенства значение 
при 
и 
. Если , то 
.
Значит, при всех номерах 
будет выполняться неравенство 
, т.е. при 
все числа заданной последовательности будут лежать на интервале (0,99;1,01). Если , то 
и для всех членов последовательности с номерами 
будет выполняться неравенство 
, а для номеров 
все члены последовательности будут лежать на интервале (0,999;1,001).
Задача 11.7
(для самостоятельного решения).Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
.
Задача 11.8
(для самостоятельного решения).Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
Задача 11.9
(для самостоятельного решения). Составить последовательности: 1) возрастающую и сходящуюся к нулю; 2) убывающую и сходящуюся к 1; 3) колеблющуюся и сходящуюся к 1; 4) колеблющуюся и расходящуюся; 5) убывающую и расходящуюся.
ДВЕНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Дальнейшие упражнения в определении предела последовательности.
