Решение квадратных неоднородных систем линейных алгебраических уравнений

Решение систем линейных уравнений – одно из самых распространенных математических упражнений. К составлению таких систем приводят многочисленные задачи на нахождение нескольких неизвестных величин, в чем мы будем иметь возможность убедиться во время последующего обучения. Рассмотрим основные термины, относящиеся к данной теме.

Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные величины в первой степени и не содержит произведений переменных.

Например, линейными будут следующие уравнения:

.

Для обозначения неизвестных величин в математике обычно используют символы , (как в первом примере), а также (как во втором примере). В конкретных задачах для неизвестных могут быть использованы другие обозначения.

Постоянные величины, стоящие множителями при переменных, называют коэффициентами при неизвестных, а постоянные в правой части уравнений – свободными членами уравнений.

Набор из нескольких линейных уравнений для одних и тех же неизвестных называется системой линейных уравнений.

Например:

Систему, состоящую из уравнений для неизвестных, называют системой размера . Если в системе число неизвестных и уравнений совпадает, то она называется квадратной, если не совпадает – прямоугольной. Число уравнений в квадратной системе называется порядком системы.

Если в системе хотя бы один из свободных членов отличен от нуля, она называется неоднородной, если все свободные члены уравнений равны нулю, она называется однородной.

Решением системы линейных уравнений называется процесс получения тех значений переменных, которые обращают все уравнения системы в тождества. Сам такой набор значений также называется решением системы.

Если система имеет хотя бы одно решение, она называется совместной, если ни одного – то несовместной. Если решение единственно, то система называется определенной, если решений больше одного – то неопределенной.

Рассмотрим различные способы решения квадратных неоднородных систем линейных уравнений.

Метод Гаусса

Этот метод является продолжением и обобщением рассматриваемых школе методов подстановки и сложения.

Запишем систему так, чтобы в первом уравнении при первом неизвестном коэффициент был равен 1. Если в системе есть подходящее уравнение, его можно переставить на первое место, если такого уравнения нет, то обе части первого уравнения можно разделить на коэффициент при первом неизвестном (полагая, конечно, что он отличен от 0). Умножая последовательно первое уравнение на числа, противоположные коэффициентам при первом неизвестном в остальных уравнениях, прибавляем его ко второму, третьему и т.д. уравнениям системы.

После этого во всех уравнениях системы, кроме первого, первое неизвестное будет исключено, т.е. эти уравнения будут содержать на одно неизвестное меньше, да и самих уравнений будет на одно меньше (первое не рассматриваем). Значит, эти уравнения образуют систему уравнений на порядок меньше, чем в исходной. С этой системой можно провести такие же преобразования, как на первом этапе и т.д. до тех пор, пока в одном уравнении не останется одно неизвестное. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений

Поменяем местами первое и второе уравнения системы:

Выполним такие преобразования: ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на (-3), к третьему – первое, умноженное на (-2). После выполнения указанных действий система примет вид:

Умножив второе уравнение на (-1), прибавим его к третьему, тогда:

Из последнего уравнения находим , из второго ; из первого . Подстановкой найденных значений во все уравнения исходной системы убеждаемся, что они являются ее решением.

Пример 2. Решить систему линейных уравнений

Умножая первое уравнение на (-3) и прибавляя ко второму, затем на (-2) и прибавляя к третьему, затем на (-3) и прибавляя к четвертому, преобразуем систему.

Предварительно разделив обе части второго уравнения на (-4), прибавим его к четвертому уравнению, умножив на (-1), прибавим к третьему, тогда:

Разделим обе части третьего уравнения на 12, а четвертого - на 3, затем третье уравнение, умноженное на (-3), прибавим к четвертому, получим:

Из последнего уравнения находим из третьего ; из второго ; из первого . Подставляем найденные значения во все уравнения системы и убеждаемся, что решение верно.

Решение систем линейных уравнений по методу Гаусса особенно удобно, когда коэффициенты при неизвестных целые числа, в тех случаях, когда коэффициенты произвольны или даны в общем виде, решение системы (особенно вручную) по методу Гаусса может представлять непростую задачу. Попробуем найти еще один способ решения систем линейных уравнений.