Выполнение действий с векторами через их координаты

В координатной форме записи удобно выполнять любые действия с векторами.

Чтобы умножить вектор на число, нужно все его координаты умножить на это число:

.

Чтобы найти сумму или разность векторов, нужно сложить или вычесть соответствующие координаты.

; ;

; .

Используя свойства скалярного произведения, а также тот факт, что базисные вектора взаимно ортогональны, можно получить формулу для вычисления скалярного произведения векторов, заданных своими координатами:

; ;

.

Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.

Формула для вычисления угла между векторами:

Учитывая свойства векторного произведения и взаимную перпендикулярность базисных векторов, можно получить способ определения координат векторного произведения через координаты входящих в него векторов и .

; ;

.

Формулы для вычисления координат векторного произведения легче запоминаются, если представить его в виде определителя, составленного из базисных векторов и координат векторов и , разложенного по элементам первой строки:

Смешанное произведение легко вычисляется, если вектора заданы своими координатами:

Смешанное произведение равно определителю, составленному из координат векторов, входящих в смешанное произведение.

Пример решения контрольной работы №2

Задание 1

Дано: . Для векторов и найти скалярное произведение и модуль векторного произведения.

Решение

Используя свойства и определение скалярного произведения, найдём:

Используя свойства векторного произведения векторов и определение его модуля, найдём:

Задание 2

Дан тетраэдр с вершинами в точках

.

Найти: 1) внутренние углы в основании (с точностью до десятых долей градуса), сделать проверку;

2) объём пирамиды, площадь основания и длину высоты, проведённой из вершины .

Решение

1) Внутренние углы в основании можно найти как углы между векторами, выходящими из соответствующих вершин:

, , .

Как изложено в теоретическом материале, координаты вектора равны разности координат конца и начала вектора, его длина равна корню квадратному из суммы квадратов его координат. Тогда:

Подставим координаты векторов и их длины в формулы для нахождения косинусов углов:

;

;

.

Проверка: .

С учётом проведённых округлений нахождение углов можно признать правильным.

2) Как показано в теоретическом материале данного раздела, объём треугольной пирамиды можно найти как 1/6 модуля смешанного произведения векторов, на которых она построена:

.

Найдём смешанное произведение векторов, учитывая координаты вектора :

.

Тогда .

Площадь треугольника, являющегося основанием , можно найти как половину модуля векторного произведения векторов, которые образуют данный треугольник:

.

Найдём векторное произведение:

Тогда площадь основания .

Высоту пирамиды из вершины найдём, используя формулу:

.

В данном случае и высота .

Ответ: 1)

2) ; ; .