1) Транспонирование.
Матрица 
называется транспонированной по отношению к матрице А, если строки одной матрицы являются столбцами другой и наоборот, например,
.
2) Сложение (вычитание) матриц.
Чтобы найти сумму или разность двух матриц, нужно сложить или вычесть соответствующие элементы этих матриц, например,
;
.
Замечание: исходя из определения, складывать или вычитать можно только матрицы одного размера.
3) Умножение на число (скаляр).
Чтобы умножить матрицу на число, нужно все ее элементы умножить на это число, например,
.
Следствие: общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.
Умножение матриц
Матрица С называется произведением матрицы А на матрицу В, если ее элементы вычисляются следующим образом:
.
Т.е. элемент матрицы С, стоящий в 
-той строке и 
-том столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов -той строки матрицы А и -того столбца матрицы В (соответствующих — это значит, что первый элемент строки умножаем на первый элемент столбца, второй — на второй и так до последней пары элементов).
Из определения данного действия следует, что умножать можно только такие матрицы, в которых число столбцов матрицы А (т.е. число элементов в ее строке) равно числу строк матрицы В (т.е. числу элементов в ее столбце). Такие матрицы называются согласованными для умножения. Из определения умножения можно также заключить, что умножение матрицы А размера 
на матрицу В размера 
дает матрицу С размера 
.
Заметим, что квадратные матрицы одного порядка всегда согласованы для умножения.
Пример.
.
.
Для данных матриц обратное умножение В на А невозможно, т.к. число столбцов в В равно 2, а число строк в матрице А равно 4. Но даже, если возможны оба произведения, они в общем случае могут не совпадать. Проверим:
;
;
.
Свойства умножения матриц
1) В общем случае 
, т.е. в общем случае перестановочное свойство умножения не выполняется.
Матрицы, для которых оно выполняется, называются перестановочными.
2) Сочетательное свойство: 
.
3) Распределительное свойство умножения относительно сложения:
4) Умножение на единичную матрицу не меняет матрицы: 
.
5) Умножение на нулевую матрицу дает нулевую матрицу: 
;
замечание: из того факта, что произведение двух матриц равно 0, не следует обязательно, что либо одна из них, либо обе вместе равны 0.
Матричные уравнения
Используя различные действия с матрицами, можно составлять матричные уравнения — соотношения между неизвестной матрицей Х и известными матрицами.
Например, АХ = В или ХА = В, АХВ = С, АХ + В = С, ХА — В = С и т.д.
Рассмотрим одно из простейших матричных уравнений:
.
В школьном курсе алгебры рассматривалось соответствующее ему уравнение для действительных чисел:
Решением этого линейного уравнения является 
, где число 
называется обратным к 
и удовлетворяет соотношению: 
.
Введем подобное понятие и для матриц. Матрица 
называется обратной к 
, если она удовлетворяет условию:
,
где 
— единичная матрица.
Из определения обратной матрицы следует, что ее можно найти только для квадратных матриц.
Существование обратной матрицы дает возможность решать матричные уравнения, например, рассмотрим уравнение . Умножим обе части уравнения слева на матрицу, обратную :
.
Аналогично можно найти решение уравнения 
, умножая теперь уже справа обе части уравнения на :
.
