П.В. Потапков, И.И. Марончук, А.Г. Рипп
Цель работы
Целью данной лабораторной работы является наблюдение явления вынужденной прецессии гироскопа, исследование зависимости частоты прецессии от момента внешних сил и от частоты вращения маховика гироскопа.
Краткая теория.
1.1. Гироскоп и его свойства
Гироскоп – это быстро вращающееся твёрдое тело, ось вращения которого не фиксирована, а может свободно изменять своё направление в пространстве, то есть поворачиваться. Одна из точек оси вращения обычно закреплена. Эту точку называют точкой опоры гироскопа. Главная особенность гироскопа состоит в том, что для поворота его оси вращения требуется очень большое внешнее воздействие. Иными словами, направление заданной изначально оси вращения гироскопа обладает высокой устойчивостью.
Наибольшее значение в науке и технике имеют симметричные гороскопы. Они обладают геометрической осью симметрии, и их приводят во вращение именно вокруг этой оси.
Теория гироскопов основана на уравнении моментов. Его ещё называют основным законом динамики вращательного движения. Этот закон состоит в том, что моменты внешних сил M i, действующие на механическую систему, приводят к изменению момента импульса системы L [20]. При этом скорость изменения момента импульса равна суммарному моменту внешних сил:
. (1.1)
Если твёрдое тело вращается вокруг неподвижной (фиксированной) оси с угловой скоростью w, то оказывается, что его момент импульса L параллелен вектору w и, более того, связан с ним формулой
, (1.2)
где I – момент инерции тела относительно оси вращения[21]. При этом оба вектора L и w направлены вдоль оси вращения. Ось вращения гироскопа не фиксирована, поэтому связь между L и w немного иная. Выясним её. Как известно, всякий вектор можно представить в виде суммы двух взаимно перпендикулярных векторов[22]. Вектор w можно разложить на следующие составляющие: w 0, направленную вдоль оси симметрии гироскопа, и w ^, направленную перпендикулярно оси симметрии,
, (1.3)
При этом оказывается, что
, (1.4)
где I 0 – момент инерции гироскопа относительно его оси симметрии, I ^ – момент инерции гироскопа относительно оси, перпендикулярной оси симметрии.[23] Так как I 0 и I ^ обычно не равны друг другу, то в общем случае L, w и ось вращения направлены по-разному. Как отмечалось выше, гироскоп первоначально раскручивают вокруг его оси симметрии. Поэтому в начальном состоянии
. (1.5)
Таким образом, в начальном состоянии L, w и ось вращения направлены одинаково. Однако с течением времени эта параллельность может нарушиться, так как согласно уравнению моментов (1.1) моменты внешних сил изменяют момент импульса гироскопа, что, в свою очередь, приводит к изменению угловой скорости. В чём состоит это изменение и нарушается ли при этом параллельность между L, w и осью вращения, зависит от конкретного устройства гироскопа и от сил, создающих моменты.
1.2. Прецессия гироскопа
Рассмотрим гироскоп, состоящий из лёгкого стержня, на котором надеты диск-маховик M, масса которого много больше массы стержня, и цилиндрический противовес Р (рисунок 1.1). Маховик соединён со стержнем с помощью подшипника, поэтому он может вращаться вокруг стержня. Противовес вокруг стержня не вращается, но его можно перемещать вдоль стержня и закреплять в любой точке O 2. В точке O 1 стержень гироскопа шарнирно закреплен с вертикальной подставкой S, так что O 1 является точкой опоры гироскопа. Ось O s – это ось симметрии гироскопа.
| M |
| P |
| O 1 |
| O 2 |
| S |
| Рис. 1.1. Устройство гироскопа |
| O s |
Рассмотрим поведение гироскопа.
Так как маховик вращается, он обладает моментом импульса L – см. рисунок 1.2. Внешние силы, которые могут изменить момент импульса, это – силы тяжести, действующие на маховик массой m 1 и противовес массой m 2[24].
. (1.6)
Линии, вдоль которых действуют силы G 1 и G 2, не проходят через ось вращения O 1, поэтому эти силы создают моменты сил:
. (1.7)
Момент M 1 вызывает вращение гироскопа против часовой стрелки, следовательно, он направлен к наблюдателю (это показано точкой), Момент M 2 вызывает вращение по часовой стрелки, следовательно, он направлен от наблюдателя (показано крестиком). Таким образом, векторы M 1 и M 2 антипараллельны.
Если противовес установлен так, что модули этих векторов одинаковы, то есть 
, то 
и тогда суммарный момент сил, действующих на гироскоп, равен нулю. При этом ось гироскопа будет сохранять горизонтальное положение независимо от того, вращается маховик или нет. Если 
, то поведение гироскопа зависит от того, вращается маховик или нет. В случае, когда маховик не вращается, гироскоп под действием момента сил 
будет вести себя привычно: он будет поворачиваться по часовой стрелке или против часовой стрелки в зависимости от того, какой из моментов сил больше. Если же маховик вращается, то движение гироскопа необычно: его ось симметрии O s будет оставаться горизонтальной, но при этом будет поворачиваться в горизонтальной плоскости. Это вращение называется вынужденной прецессией.
| L |
| G1 |
| G2 |
| ℓ2 |
| ℓ1 |
| M2 |
| M1 |
| Рис. 1.2. Силы и моменты сил |
| O 1 |
Выясним причину этого явления и определим, от чего и как зависит частота прецессии.
На рисунке 1.3 показан вид на гироскоп сверху. Будем для определённости считать, что 
, так что суммарный момент сил на рисунке 1.2 направлен от наблюдателя, а на рисунке 1.3 – вверх.
| M |
| L(0) |
| Рис. 1.3. Вынужденная прецессия гироскопа |
| O 1 |
| dL |
| dj |
Пусть в начальный момент времени (в момент установки и закрепления противовеса) маховик вращается с угловой скоростью w (0). При этом он (и весь гироскоп в целом) обладает моментом импульса L (0). Согласно (1.5),
и начальный момент импульса направлен так же, как и угловая скорость, то есть вдоль оси симметрии гироскопа. Из уравнения моментов следует, что за малое время dt момент силы M изменит момент импульса гироскопа на 
. Так как 
, то и 
. Поэтому вектор L по величине не изменяется, а только поворачивается на малый угол dj. Из (1.5) следует, что
. (1.8)
Так как 
, то 
. По определению, вектор w ^ перпендикулярен оси гироскопа, поэтому в (1.8) два вектора d w ^ и d L имеют одно и то же направление. Следовательно, такое же направление имеет и вектор d w 0. Это значит, что d w 0 ^ w 0, то есть вектор w 0 не изменяется по величине, а только поворачивается – так же, как и вектор момента импульса L.
Итак, во-первых, скорость вращения гироскопа вокруг его оси w0 сохраняется неизменной. Во-вторых, по определению, вектор w 0 направлен вдоль оси вращения, поэтому поворот вектора w 0 означает поворот оси симметрии гироскопа O s.
Из (1.5) следует, что с течением времени у вектора L появляется составляющая, перпендикулярная оси вращения, однако, если начальная скорость вращения гироскопа w 0 достаточно велика, то 
. Поэтому можно в первом приближении отбросить в (1.5) второе слагаемое и утверждать, что не только в начальный, но и в любой момент времени
. (1.9)
Это означает, что векторы L, w 0 и ось вращения параллельны не только в начальный момент, но и остаются параллельными через время dt, повернувшись все вместе на угол dj. За следующий промежуток времени происходит то же самое и так далее. Получается, что векторы L, w 0 и ось вращения постоянно все вместе вращаются в горизонтальной плоскости. А это и есть прецессия.
Определим теперь скорость прецессии. Для этого достаточно определить скорость вращения вектора L. Из рисунка 1.3 следует:
.
Итак, формула для частоты прецессии:
, (1.10)
где, согласно (1.7),
. (1.11)
Как показывает формула (1.10), частота прецессии прямо пропорциональна суммарному моменту внешних сил и обратно пропорциональна частоте вращения маховика. Экспериментальная проверка этого факта – это и есть цель лабораторной работы.
Примечание.
Нетрудно догадаться, что частота прецессии W – это w^. Вектор W = w ^ направлен перпендикулярно оси гироскопа вдоль оси вертикальной подставки S и, как следует из (1.10) – (1.11), остаётся неизменным до тех пор, пока не изменяется положение противовеса. Теперь от приближённой формулы (1.9) можно вернуться к точной (1.5):
, (1.12)
Таким образом, между вектором момента импульса и осью гироскопа есть некоторый угол q, тангенс которого с учётом (1.10) – (1.11) равен
. (1.13)
Из этой формулы видно, во-первых, что при достаточно большой частоте вращения гироскопа ω0 угол q – очень маленький, а в-вторых, с течением времени угол q не изменяется, так что даже с учётом того, что L и ось гироскопа не совсем параллельны, они всё равно прецессируют с одинаковой скоростью, то есть формула (1.10) – правильная.
1.3. Методика экспериментов
Для того чтобы убедиться в том, что частота прецессии W прямо пропорциональна суммарному моменту внешних сил M, нужно сделать следующее.
· Снять экспериментальную зависимость W(M), то есть провести серию измерений частоты прецессии при разных значениях M.
· Построить график экспериментальной зависимости W(M), то есть нанести на график в координатах (M; W) результаты экспериментов в виде экспериментальных точек.
Графиком прямо пропорциональной зависимости является прямая линия, проходящая через начало координат. Поэтому если через экспериментальные точки (точнее, через их планки погрешностей) можно будет провести такую прямую линию, то данный факт как раз и будет экспериментальным подтверждением прямо пропорциональной зависимости W от M.
Убедиться в том, что частота прецессии W обратно пропорциональна частоте вращения маховика w0, несколько сложнее. Дело в том, что графиком обратно пропорциональной зависимости является не прямая линия, а гипербола первого порядка. Прямую линию можно провести по линейке, но как провести гиперболу первого порядка? – Это можно сделать с помощью какой-либо компьютерной программы (например, EXCEL). Но можно просто обойти эту проблему, применив метод линеаризации. Он состоит в том, что от величин, связанных нелинейной зависимостью, переходят к другим величинам, связь между которыми линейная, то есть графиком зависимости этих новых величин друг от друга является прямая линия. В данном случае достаточно перейти от частоты вращения маховика w0 к величине 
. Из формулы (1.10) следует, что
, (1.14)
так что W зависит от u прямо пропорционально и графиком этой зависимости является прямая линия.
Итак, для того, чтобы убедиться в том, что частота прецессии W обратно пропорциональна частоте вращения маховика w0, нужно сделать следующее.
· Снять экспериментальную зависимость W(w0), то есть провести серию измерений частоты прецессии при разных значениях w0.
· Определить для каждого эксперимента значение u по формуле .
· Построить график экспериментальной зависимости W(u), то есть нанести на график в координатах (u; W) результаты экспериментов в виде экспериментальных точек.
Если через экспериментальные точки (точнее, через их планки погрешностей) можно будет провести прямую линию, проходящую через начало координат, то данный факт как раз и будет экспериментальным подтверждением прямо пропорциональной зависимости W от u и обратно пропорциональной зависимости W от w0.
Разумеется, вы можете и не использовать метод линеаризации, если с помощью какой-нибудь компьютерной программы сможете на графике экспериментальной зависимости W(w0) провести через планки погрешностей экспериментальных точек гиперболу первого порядка и при этом узнать уравнение этой гиперболы (в EXCEL это уравнение называется уравнением тренда).
