Работа 17. Проверка теоремы Штейнера

П.В. Потапков, А.Г. Рипп

Цель работы

Целью данной лабораторной работы является знакомство с теоремой Штейнера и её экспериментальная проверка.

Краткая теория

Понятие момента инерции

Одной из важнейших количественных характеристик тела, совершающего вращательное движение, является момент инерции I.

Если тело – это материальная точка массой m, вращающаяся по окружности радиусом r вокруг некоторой оси, то моментом инерции точки называется произведение

. (1.1)

Если тело – это система n материальных точек с массами (m ₁, m ₂, m ₃, …), вращающаяся вокруг некоторой оси, то её моментом инерции относительно этой оси называется сумма моментов инерции точек системы:

, (1.2)

где r_i – радиус вращения точки с номером i. Таким образом, момент инерции является аддитивной физической величиной.

Обобщение формулы (1.2) на сплошное тело, состоящее из бесконечно большого количества материальных точек, означает переход от суммы к интегралу:

, (1.3)

где r – плотность вещества, из которого состоит тело, а интегрирование ведётся по объёму тела V.

Момент инерции тела зависит от оси вращения. Самое маленькое значение момента инерции достигается, если ось вращения проходит через центр инерции тела. Такая ось называется главной осью, а момент инерции тела относительно главной оси тоже называется главным и обозначается буквой I ₀. Разумеется, главный момент инерции зависит от ориентации главной оси.

Измерить момент инерции тела можно несколькими способами. Один из них состоит в том, чтобы измерить размеры тела и его плотность, а затем вычислить интеграл (1.3). Оказывается, что вычисление этого интеграла наиболее просто сделать для главных моментов инерции. В таблице 1.1 приведены результаты интегрирования (формулы главных моментов инерции) для тел наиболее простых форм. На рисунках в таблице пунктиром показана главная ось вращения.

Таблица 1.1. Главные моменты инерции некоторых тел

Форма тела	Размеры	Рисунок	Формула
Шар	Радиус R
Цилиндр, диск	Радиус R
Обруч, тонкостенная труба	Внешний радиус R
Стержень	Длина ℓ

Теорема Штейнера

Если требуется узнать момент инерции относительно не главной оси, то вычисление интеграла (1.3) может оказаться довольно трудоёмким делом. Но оказывается эту трудность можно обойти, если использовать следующее правило, которое называется теоремой Штейнера.

Если A и O – две параллельные оси, расстояние между которыми равно b, причём для некоторого тела массой m ось O – главная, то момент инерции данного тела I относительно оси A связан с его главным моментом инерции I ₀ относительно оси O формулой:

. (1.4)

Таким образом, интеграл (1.3) надо вычислять только для измерения главных моментов инерции. Как указано выше, целью лабораторной работы является экспериментальная проверка формулы (1.4). Для этого надо, не пользуясь формулами (1.3) и (1.4), измерить моменты инерции некоторого тела относительно некоторой главной оси и нескольких параллельных осей, а затем сравнить полученные результаты с тем, что следует из теоремы Штейнера (1.4). Чтобы придумать альтернативный способ измерения момента инерции, надо выяснить, с какими физическими величинами связан момент инерции, то есть в какие физические законы он входит.

Уравнение моментов

Это уравнение является основным законом динамики вращательного движения твёрдого тела. Оно является аналогом второго закона Ньютона. В случае, если ось вращения твёрдого тела фиксирована (закреплена), уравнение моментов имеет следующий вид.

, (1.5)

где e – угловое ускорение тела, M_i – проекции на ось вращения моментов сил, действующих на тело, I – момент инерции тела. В этом уравнении момент инерции играет ту же роль, что и масса во втором законе Ньютона, потому он и называется моментом инерции: чем больше величина момента инерции, тем меньше при данных моментах сил величина углового ускорения, тем медленнее разгоняется или тормозится тело.

Уравнение моментов можно использовать для измерения момента инерции: измеряя моменты сил и угловое ускорение, которое они создают, можно из формулы (1.5) узнать момент инерции тела.