Описание экспериментальной установки

O

Рис. 1.1 – Маятник Обербека

r

m

Барабан

m 1

Маятник Обербека показан на рисунке 1.1. Он состоит из барабана, который может вращаться вокруг своей оси O, и четырёх стержней, скрепленных с ним. На каждый стержень надета привеска, которую можно перемещать вдоль стержня и фиксировать её с помощью стопорного винта в любом положении стержня. Все четыре привески (на рисунке они обозначены цифрами 1, 2, 3, 4) – одинаковые, у них одна и та же масса m ₁, и в данной лабораторной работе они устанавливаются на одном и том же расстоянии r от оси вращения вала O. При этом маятник называется симметричным.

Барабан с помощью двух подшипников укреплён на неподвижном горизонтальном валу, который, в свою очередь, крепится на вертикальной стойке (стойка на рисунке 1.1 не показана), поэтому ось вращения барабана O является фиксированной (закреплённой). Стойка с помощью крепёжных винтов устанавливается на краю лабораторного стола. На барабан намотана нить, свободный конец которой соединён с грузом массой m. Под действием силы тяжести груз опускается вниз (на пол), нить натягивается и приводит во вращение маятник.

Краткая теория

В самом общем случае основной закон динамики вращательного движения утверждает, что скорость изменения момента импульса системы L равна сумме моментов внешних сил М, действующих на систему[14].

. (2.1)

Если система – это твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной (закреплённой) оси, то закон (2.1) записывают в другом виде:

, (2.2)

где e – угловое ускорение тела, I – момент инерции тела относительно его оси вращения[15]. В этом виде основной закон динамики вращательного движения аналогичен второму закону Ньютона , и он означает, что угловое ускорение e телу создают моменты внешних сил, действующих на него. Маятник Обербека как раз и является твёрдым телом с закреплённой осью вращения, поэтому для него справедлив закон (2.2). Задачей данной лабораторной работы является экспериментальная проверка этого закона, а именно: необходимо экспериментально подтвердить, что величина углового ускорения маятника Обербека e при неизменном значении суммарного момента внешних сил M обратно пропорциональна моменту инерции маятника I относительно его оси вращения O. Исследованию зависимости углового ускорения маятника от момента внешних сил M посвящена другая лабораторная работа[16].

Для выполнения поставленной задачи необходимо, прежде всего, определить способ измерения величин e и I.

2.1. Измерение углового ускорения e

Вращательное движение маятника связано с поступательным движением груза. Это выражается в том, что в любой момент времени циклическая частота вращения маятника w (угловая скорость) однозначно связана со скоростью опускания груза 𝑣:

, (2.3)

где R – радиус барабана. Дифференцирование этого уравнения по времени даёт:

. (2.4)

Так как по определению – это угловое ускорение e, а – это ускорение a поступательного движения груза, то из (2.4) следует:

. (2.5)

Таким образом, для измерения углового ускорения e можно измерить ускорение движения груза a и радиус барабана, а затем воспользоваться формулой (2.5). Радиус барабана можно измерить прямым способом – с помощью штангенциркуля. А измерение ускорения груза можно произвести косвенным способом на основании двух следующих фактов. Во-первых, эксперименты, проводимые с маятником Обербека в учебной лаборатории, свидетельствуют, что движение груза – равноускоренное, то есть . Во-вторых, одно из уравнений кинематики равноускоренного движения имеет вид:

, (2.6)

где S – это длина пути, пройденного телом за время t. Если измерить высоту h, с которой груз начинает движение, и время t, в течение которого груз падает на лабораторный стол, то применение формулы (2.6) даёт:

. (2.7)

2.2. Измерение момента инерции маятника I

Маятник состоит из двух частей: основная часть и привески. Основная часть – это вал, подшипники, барабан и четыре стержня. Обозначим момент инерции основной части I ₀. Как измерить значение I ₀, пока не ясно. Вторая часть маятника – это четыре привески. Они расположены совершенно симметрично, поэтому момент инерции каждой из них I ₁ – один и тот же. Учтём свойство аддитивности момента инерции и будем считать привески материальными точками (это, конечно, приближение, но оно тем точнее, чем дальше привески отодвинуты от центра, то есть от оси вращения). В этом случае момент инерции привесок I _п относительно оси вращения равен:

, (2.8)

где m ₁ – масса одной привески, r – расстояние от оси вращения до центра инерции привески.

Итак, момент инерции маятника относительно оси вращения равен:

. (2.9)

Важно, что в этой формуле момент инерции основной части I ₀ – это постоянная составляющая момента инерции маятника, хотя и неизвестная, а момент инерции привесок I _п можно изменять, передвигая привески, и при этом измерять, используя формулу (2.8). Таким образом, изменение момента инерции маятника I, необходимое для того, чтобы можно было исследовать зависимость между I и e, реализуется в данной лабораторной работе изменением момента инерции привесок I _п. Это означает, что вместо исследования зависимости e (I) реально провести исследование зависимости e (I _п).

Какой должна быть эта зависимость, если исходить из основного закона динамики вращательного движения (2.2)? – Подставив (2.9) в (2.2), получим:

. (2.10)

Зависимость e от I _п – нелинейная, поэтому лучший способ её экспериментальной проверки – это линеаризация, то есть переход от переменных I _п и e к другим переменным, которые зависят друг от друга линейно. Дело в том, что график линейной зависимости – прямая линия, так что её проверка проста: надо нанести на график экспериментальные точки, и если они выстроятся вдоль прямой линии, то это и будет свидетельством правильности теоретической зависимости. Для линеаризации формулы (2.9) достаточно перевернуть дробь:

.

Теперь нетрудно догадаться, какую надо сделать замену переменных:

. (2.11)

Величина E связана с I _п линейной зависимостью:

. (2.12)

Слагаемое при изменении I _п не изменяется, то есть представляет собой свободный член.

Таким образом, задачу эксперимента можно сформулировать так: исследовать зависимость e(I _п) и убедиться, что величина E, обратная угловому ускорению e, зависит от I _п линейно.

Кроме того, если эксперимент подтвердит указанную линейную зависимость, то есть на графике в координатах (I _п; E) можно будет через экспериментальные точки провести прямую линию[17], то измерение параметров этой линии позволит получить дополнительную информацию: значение суммарного момента сил M и значение момента инерции I ₀ основной части маятника.

Пояснение. Уравнение прямой линии в координатах (I _п; E) имеет вид:

. (2.13)

В этой формуле k и c – это не зависящие от I _п числа, называемые параметрами прямой линии. Параметр k называется угловым коэффициентом, параметр c – свободным членом. Если прямая линия проведена, то её параметры можно измерить[18]. Сравнение (2.13) с (2.12) показывает:

, (2.14)

откуда следует, что

. (2.15)

Формулы (2.15) и определяют способ измерения значений M и I ₀.

Замечание. Утверждение, что величина зависит от момента инерции привесок I _п линейно, основано на том, что суммарный момент внешних сил M не зависит от I _п и поэтому при изменении I _п остаётся неизменным, так что в формуле (2.12) M играет роль константы. Это, строго говоря, неправильно. Значение момента внешних сил M действительно не изменяется при вращении маятника – об этом свидетельствует указанный выше факт, что движение груза – равноускоренное. Однако значение M зависит от момента инерции маятника, поэтому при изменении момента инерции привесок I _п момент внешних сил M не остаётся постоянным.

Влияние I _п на момент M объясняется тем, что при изменении момента инерции маятника I изменяется и сила натяжения нити T, которая вносит основной вклад в момент сил M. Тем не менее, расчёты показывают, что при условии (m – масса груза, R – радиус барабана) влияние I на M становится незначительным, так что предположение можно считать соответствующим истине. Однако для того чтобы условие выполнялось, надо проводить эксперименты с лёгким грузом, а привески устанавливать не слишком близко к оси[19].