| O |
| Рис. 1.1 – Маятник Обербека |
| r |
| m |
| Барабан |
| m 1 |
Маятник Обербека показан на рисунке 1.1. Он состоит из барабана, который может вращаться вокруг своей оси O, и четырёх стержней, скрепленных с ним. На каждый стержень надета привеска, которую можно перемещать вдоль стержня и фиксировать её с помощью стопорного винта в любом положении стержня. Все четыре привески (на рисунке они обозначены цифрами 1, 2, 3, 4) – одинаковые, у них одна и та же масса m 1, и в данной лабораторной работе они устанавливаются на одном и том же расстоянии r от оси вращения вала O. При этом маятник называется симметричным.
Барабан с помощью двух подшипников укреплён на неподвижном горизонтальном валу, который, в свою очередь, крепится на вертикальной стойке (стойка на рисунке 1.1 не показана), поэтому ось вращения барабана O является фиксированной (закреплённой). Стойка с помощью крепёжных винтов устанавливается на краю лабораторного стола. На барабан намотана нить, свободный конец которой соединён с грузом массой m. Под действием силы тяжести груз опускается вниз (на пол), нить натягивается и приводит во вращение маятник.
Краткая теория
В самом общем случае основной закон динамики вращательного движения утверждает, что скорость изменения момента импульса системы L равна сумме моментов внешних сил М, действующих на систему[14].
. (2.1)
Если система – это твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной (закреплённой) оси, то закон (2.1) записывают в другом виде:
, (2.2)
где e – угловое ускорение тела, I – момент инерции тела относительно его оси вращения[15]. В этом виде основной закон динамики вращательного движения аналогичен второму закону Ньютона 
, и он означает, что угловое ускорение e телу создают моменты внешних сил, действующих на него. Маятник Обербека как раз и является твёрдым телом с закреплённой осью вращения, поэтому для него справедлив закон (2.2). Задачей данной лабораторной работы является экспериментальная проверка этого закона, а именно: необходимо экспериментально подтвердить, что величина углового ускорения маятника Обербека e при неизменном значении суммарного момента внешних сил M обратно пропорциональна моменту инерции маятника I относительно его оси вращения O. Исследованию зависимости углового ускорения маятника от момента внешних сил M посвящена другая лабораторная работа[16].
Для выполнения поставленной задачи необходимо, прежде всего, определить способ измерения величин e и I.
2.1. Измерение углового ускорения e
Вращательное движение маятника связано с поступательным движением груза. Это выражается в том, что в любой момент времени циклическая частота вращения маятника w (угловая скорость) однозначно связана со скоростью опускания груза 𝑣:
, (2.3)
где R – радиус барабана. Дифференцирование этого уравнения по времени даёт:
. (2.4)
Так как по определению 
– это угловое ускорение e, а 
– это ускорение a поступательного движения груза, то из (2.4) следует:
. (2.5)
Таким образом, для измерения углового ускорения e можно измерить ускорение движения груза a и радиус барабана, а затем воспользоваться формулой (2.5). Радиус барабана можно измерить прямым способом – с помощью штангенциркуля. А измерение ускорения груза можно произвести косвенным способом на основании двух следующих фактов. Во-первых, эксперименты, проводимые с маятником Обербека в учебной лаборатории, свидетельствуют, что движение груза – равноускоренное, то есть 
. Во-вторых, одно из уравнений кинематики равноускоренного движения имеет вид:
, (2.6)
где S – это длина пути, пройденного телом за время t. Если измерить высоту h, с которой груз начинает движение, и время t, в течение которого груз падает на лабораторный стол, то применение формулы (2.6) даёт:
. (2.7)
2.2. Измерение момента инерции маятника I
Маятник состоит из двух частей: основная часть и привески. Основная часть – это вал, подшипники, барабан и четыре стержня. Обозначим момент инерции основной части I 0. Как измерить значение I 0, пока не ясно. Вторая часть маятника – это четыре привески. Они расположены совершенно симметрично, поэтому момент инерции каждой из них I 1 – один и тот же. Учтём свойство аддитивности момента инерции и будем считать привески материальными точками (это, конечно, приближение, но оно тем точнее, чем дальше привески отодвинуты от центра, то есть от оси вращения). В этом случае момент инерции привесок I п относительно оси вращения равен:
, (2.8)
где m 1 – масса одной привески, r – расстояние от оси вращения до центра инерции привески.
Итак, момент инерции маятника относительно оси вращения равен:
. (2.9)
Важно, что в этой формуле момент инерции основной части I 0 – это постоянная составляющая момента инерции маятника, хотя и неизвестная, а момент инерции привесок I п можно изменять, передвигая привески, и при этом измерять, используя формулу (2.8). Таким образом, изменение момента инерции маятника I, необходимое для того, чтобы можно было исследовать зависимость между I и e, реализуется в данной лабораторной работе изменением момента инерции привесок I п. Это означает, что вместо исследования зависимости e (I) реально провести исследование зависимости e (I п).
Какой должна быть эта зависимость, если исходить из основного закона динамики вращательного движения (2.2)? – Подставив (2.9) в (2.2), получим:
. (2.10)
Зависимость e от I п – нелинейная, поэтому лучший способ её экспериментальной проверки – это линеаризация, то есть переход от переменных I п и e к другим переменным, которые зависят друг от друга линейно. Дело в том, что график линейной зависимости – прямая линия, так что её проверка проста: надо нанести на график экспериментальные точки, и если они выстроятся вдоль прямой линии, то это и будет свидетельством правильности теоретической зависимости. Для линеаризации формулы (2.9) достаточно перевернуть дробь:
.
Теперь нетрудно догадаться, какую надо сделать замену переменных:
. (2.11)
Величина E связана с I п линейной зависимостью:
. (2.12)
Слагаемое 
при изменении I п не изменяется, то есть представляет собой свободный член.
Таким образом, задачу эксперимента можно сформулировать так: исследовать зависимость e(I п) и убедиться, что величина E, обратная угловому ускорению e, зависит от I п линейно.
Кроме того, если эксперимент подтвердит указанную линейную зависимость, то есть на графике в координатах (I п; E) можно будет через экспериментальные точки провести прямую линию[17], то измерение параметров этой линии позволит получить дополнительную информацию: значение суммарного момента сил M и значение момента инерции I 0 основной части маятника.
Пояснение. Уравнение прямой линии в координатах (I п; E) имеет вид:
. (2.13)
В этой формуле k и c – это не зависящие от I п числа, называемые параметрами прямой линии. Параметр k называется угловым коэффициентом, параметр c – свободным членом. Если прямая линия проведена, то её параметры можно измерить[18]. Сравнение (2.13) с (2.12) показывает:
, (2.14)
откуда следует, что
. (2.15)
Формулы (2.15) и определяют способ измерения значений M и I 0.
Замечание. Утверждение, что величина 
зависит от момента инерции привесок I п линейно, основано на том, что суммарный момент внешних сил M не зависит от I п и поэтому при изменении I п остаётся неизменным, так что в формуле (2.12) M играет роль константы. Это, строго говоря, неправильно. Значение момента внешних сил M действительно не изменяется при вращении маятника – об этом свидетельствует указанный выше факт, что движение груза – равноускоренное. Однако значение M зависит от момента инерции маятника, поэтому при изменении момента инерции привесок I п момент внешних сил M не остаётся постоянным.
Влияние I п на момент M объясняется тем, что при изменении момента инерции маятника I изменяется и сила натяжения нити T, которая вносит основной вклад в момент сил M. Тем не менее, расчёты показывают, что при условии 
(m – масса груза, R – радиус барабана) влияние I на M становится незначительным, так что предположение 
можно считать соответствующим истине. Однако для того чтобы условие выполнялось, надо проводить эксперименты с лёгким грузом, а привески устанавливать не слишком близко к оси[19].
