Дифференциальное уравнение первого закона термодинамики в виде
применительно к движущемуся в потоке объему газа, учитывая, что теплота dq может подводиться к нему как извне, так и за счет трения, может быть записано так: 
.
Для вывода уравнения Бернулли запишем уравнение сохранения энергии и уравнение первого закона термодинамики в дифференциальном виде
.
Вычтем второе уравнение из первого, учитывая, что 
, тогда
.
Это уравнение называется обобщенным уравнением Бернулли в дифференциальной форме.
Проинтегрировав это уравнение от сечения 1-1 до сечения 2-2 (рис. 4.2), получим обобщенное уравнение Бернулли в интегральной форме.
.
|
| Рис. 4.3 |
Интеграл 
эквивалентен площади между осью ординат и кривой процесса (площадь 12bа, рис. 4.3). Этот интеграл в теории газотурбинных двигателей называется работой сжатия газа в потоке. Хотя, по существу, это работа, затрачиваемая на повышение давления, т.е. на сжатие (уменьшение объема) газа и на работу по его продвижения («проталкивания») далее по потоку.
Отметим, что также называют политропной работы газового потока.
Таким образом, согласно обобщенному уравнению Бернулли внешняя работа, подведенная к газу в потоке, расходуется на работу сжатия газа, на изменение (увеличение) его кинетической энергии и на работу по преодолению трения.
Обобщенное уравнение Бернулли можно интерпретировать как баланс механических форм энергии в газовом потоке.
Наличие трения, естественно, скажется на параметрах потока. Например, при заданном уровне понижения давления (
) наличие трения (
), как видно из дифференциального уравнения Бернулли, понизит прирост скорости потока. А в случае торможения потока при заданном уровне понижения скорости при наличии трения давление возрастет в меньшей степени, чем без трения, или вообще не возрастет.
Действительно, если течение газа происходит в канале (во входном устройстве, газопроводе и т.п.), в котором нет подвода (или отвода) внешней работы (
), то согласно дифференциальному уравнению Бернулли
или 
.
Если же течение происходит при этом без трения, то
или 
,
т.е. в таком случае разгон газового потока (dc > 0) возможен только за счет понижения его давления (dp < 0). Наоборот, понижение скорости при отсутствии трения будет приводить к росту давления.
Величину политропной работы газового потока в любом политропном процессе вычислим, определив значение 
из уравнения политропы и подставив его под знак интеграла. Действительно, т.к. 
, то 
и тогда
.
