Лекции.Орг
 

Категории:


Универсальный восьмиосный полувагона: Передний упор отлит в одно целое с ударной розеткой. Концевая балка 2 сварная, коробчатого сечения. Она состоит из...


Теория отведений Эйнтховена: Сердце человека – это мощная мышца. При синхронном возбуждении волокон сердечной мышцы...


Классификация электровозов: Свердловский учебный центр профессиональных квалификаций...

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и его решение



Загрузка...

Так называется дифференциальное уравнение вида

+ = 0.

Делением обеих частей этого уравнения на , получаем дифференциальное уравнение с разделенными переменными

.

 

Почленное интегрирование этого уравнения приводит к равенству

которое в неявной форме определяет решение исходного уравнения.

 

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка и его решение

Так называется уравнение вида

, (3)

где Р(х), Q (x) — некоторые функции переменной х.

Решение этого уравнения можно найти методом Бернулли, который заключается в применении подстановки y = u · v, где u = u(x),
v = v(x) — некоторые неизвестные функции.

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка

Так называется уравнение вида

(4)

Функции y1(x), y2(x) называются линейно независимыми, если равенство

(5)

( , — постоянные) возможно лишь в случае .

Если хотя бы одна (i = 1, 2), а тождество (5) возможно, то функции y1(x), y2(x), называются линейно зависимыми.

Пример. 1. y1 = , y2 = —линейно независимые функции при .

2. y1 = , y2 = — линейно независимые функции.

Теорема. Если y1, y2 — какие-либо два линейно независимые частные решения однородного линейного уравнения (4), то его общим решением служит функция y = C1 y1 + C2 y2 , где C1, C2 — произвольные постоянные.

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Это будет уравнение вида

y'' + py' + qy = 0, где . (6)

Для решения этого уравнения составляем и решаем соответствующее ему характеристическое уравнение

k2 + pk + q = 0. (7)

При его решении в зависимости от дискриминанта D могут встретиться следующие три случая:

1. . Тогда уравнение (7) имеет два различных действительных корня k1 и k2. Дифференциальное уравнение (6) имеет линейно независимые частные решения y1 = , y2 = .

При этом y = C1 · + C2 · — общее решение уравнения (6).

Пример. Для решения уравнения составляем характеристическое уравнение . Отсюда k1 = 2, k2 = 1, y = — общее решение.

 

2. D = 0. Уравнение (7) имеет два равных действительных корня k1 = k2 = k. Уравнение (6) имеет линейно независимые частные решения y1 = ekx, y2 = xekx. Тогда y = C1 · + C2 · — общее решение уравнения.

Пример. Уравнение имеет характеристическое уравнение k2 + 2k + 1 = 0, откуда k1 = k2 = –1.

Тогда y = — общее решение.

3. D < 0. Уравнение (7) не имеет решений во множестве R действительных чисел, но имеет решение во множестве C комплексных чисел (т. е. чисел вида , , i — мнимая единица, обладающая свойством i2 = –1). Тогда уравнение (6) имеет линейно независимые частные решения , .

При этом — общее решение.

Пример. Уравнение имеет в качестве характеристического уравнение . Решая его, имеем:

.

Общим решением дифференциального уравнения будет

.





Дата добавления: 2016-10-30; просмотров: 199 | Нарушение авторских прав


Рекомендуемый контект:


Похожая информация:

  1. May – мочь, иметь возможность; выражает разрешение
  2. V. Повторение пройденного материала. Решение задачи надо начать с построения графа отношения «дороже»
  3. V. Повторение пройденного материала. Это логическая задача. Перед выполнением этого задания учитель проводит с опорой на наглядность решение аналогичной ситуации
  4. А) Все издержки являются переменными
  5. а) обеспечивает оперативное решение любых вопросов;
  6. Аналитическое решение дифференциальных уравнений
  7. АС облегчает решение проблем ребенка
  8. Б) Напиши решение и ответ в правом столбце
  9. Б) Решение экспертных задач
  10. Билет № 5.3. Общесистемная модель объекта управления. Характеристика групп переменных. Управленческое решение с позиций модели. Проблема «выходных» переменных и пути ее решения
  11. Биполярный транзистор. Принцип действия. Уравнение токораспределения
  12. Бюджетная линия. Оптимум потребителя, угловое решение


Поиск на сайте:


© 2015-2019 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.003 с.