Так называется дифференциальное уравнение вида
+ 
= 0.
Делением обеих частей этого уравнения на 
, получаем дифференциальное уравнение с разделенными переменными
.
Почленное интегрирование этого уравнения приводит к равенству
которое в неявной форме определяет решение исходного уравнения.
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка и его решение
Так называется уравнение вида
, (3)
где Р (х), Q (x) — некоторые функции переменной х.
Решение этого уравнения можно найти методом Бернулли, который заключается в применении подстановки y = u · v, где u = u (x),
v = v (x) — некоторые неизвестные функции.
Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка
Так называется уравнение вида
(4)
Функции y 1(x), y 2(x) называются линейно независимыми, если равенство
(5)
(
, 
— постоянные) возможно лишь в случае 
.
Если хотя бы одна 
(i = 1, 2), а тождество (5) возможно, то функции y 1(x), y 2(x), называются линейно зависимыми.
Пример. 1. y 1 = 
, y 2 = 
—линейно независимые функции при 
.
2. y 1 = 
, y 2 = 
— линейно независимые функции.
Теорема. Если y 1, y 2 — какие-либо два линейно независимые частные решения однородного линейного уравнения (4), то его общим решением служит функция y = C 1 y 1 + C 2 y 2 , где C 1, C 2 — произвольные постоянные.
Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
Это будет уравнение вида
y'' + py' + qy = 0, где 
. (6)
Для решения этого уравнения составляем и решаем соответствующее ему характеристическое уравнение
k 2 + pk + q = 0. (7)
При его решении в зависимости от дискриминанта D могут встретиться следующие три случая:
1. 
. Тогда уравнение (7) имеет два различных действительных корня k 1 и k 2. Дифференциальное уравнение (6) имеет линейно независимые частные решения y 1 = , y 2 = .
При этом y = C 1 · + C 2 · — общее решение уравнения (6).
Пример. Для решения уравнения 
составляем характеристическое уравнение 
. Отсюда k 1 = 2, k 2 = 1, y = 
— общее решение.
2. D = 0. Уравнение (7) имеет два равных действительных корня k 1 = k 2 = k. Уравнение (6) имеет линейно независимые частные решения y 1 = ekx, y 2 = xekx. Тогда y = C 1 · + C 2 · — общее решение уравнения.
Пример. Уравнение 
имеет характеристическое уравнение k 2 + 2 k + 1 = 0, откуда k 1 = k 2 = –1.
Тогда y = 
— общее решение.
3. D < 0. Уравнение (7) не имеет решений во множестве R действительных чисел, но имеет решение во множестве C комплексных чисел (т. е. чисел вида 
, 
, i — мнимая единица, обладающая свойством i 2 = –1). Тогда уравнение (6) имеет линейно независимые частные решения 
, 
.
При этом 
— общее решение.
Пример. Уравнение 
имеет в качестве характеристического уравнение 
. Решая его, имеем:
.
Общим решением дифференциального уравнения будет
.
