Понятие неопределенного интеграла
Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на некотором промежутке Х, если для любого элемента 
выполняется равенство F' (x) = f (x).
Если F (x) — одна из первообразных для функции f (x) на промежутке Х, то всякую другую первообразную Ф (х) на промежутке Х можно представить в виде Ф (х) = F (x) + с, где с — постоянная величина.
Неопределенным интегралом от функции f (x) называется множество всех ее первообразных, т. е. 
.
При этом f (x) — подынтегральная функция, f (x) dx — подынтегральное выражение, 
знак неопределенного интеграла, х —
переменная интегрирования.
Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.
Свойства неопределенного интеграла:
1. 
2. 
3. 
4. 
где с — постоянная величина.
5. 
.
6. Если 
= F (x) + c и 
— дифференцируемая функция, то 
= F (и) + c.
Таблица основных неопределенных интегралов:
1. 
2. 
3. 
4. 
.
5. 
.
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Интегрирование методом замены переменной и по частям
Метод замены переменной проводится по формуле
где х = 
— некоторая дифференцируемая функция.
Если и = и (х), v = v (x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедлива формула интегрирования по частям
Интегрирование простейших рациональных дробей
Интегрирование проводят в зависимости от типа простейшей рациональной дроби.
1. 
(А, а — постоянные действительные числа) — простейшая рациональная дробь первого типа.
Пример. 
= 
= 
= 
= = 
= 
.
2. 
(А, а, т — постоянные числа, 
, 
) — простейшая рациональная дробь второго типа.
Пример. 
= 
= 
= 
=
= 
= 
= 
.
3. 
(М, N, p, q — постоянные числа, М, N, p, q 
, х 2 + рх + q не имеет действительных корней) — простейшая рациональная дробь третьего типа.
Пример. 
= 
+ 
=
= 
dx + 
= 
dx – 
·
· 
+ 5 · 
= 
=
= 
– = – 
=
=[ d (x + 2) = (x + 2) 'dx = dx ] = – 
= ·
· – arctg (x + 2) + c.
4. 
(М, N, р, q — постоянные числа, М, N, р, q , 
, ; х 2 + рх + q не имеет действительных корней) — простейшая рациональная дробь четвертого типа.
Интеграл от этой дроби считается с помощью рекуррентных формул, позволяющих уменьшить число т до 1.
Интегрирование правильных и неправильных рациональных дробей
Рациональная дробь 
(Qn (x), Qm (x) — некоторые многочлены степеней n и m соответственно) называется правильной, если 
, и неправильной в противном случае (если 
).
Для интегрирования правильной дроби ее предварительно раскладывают на простейшие дроби. Для этого многочлен Qn (x) разлагают на неприводимые множители. Общий вид такого разложения следующий:
= 
+ 
+ … +
+ 
+ … + 
+ … + 
+ 
+
+ 
+…+ 
,
где А 1, А 2, …, Аk, В 1, В 2, …, Вr , М 1, М 2, …, Мs , N 1, N 2, …, Ns — некоторые неопределенные действительные коэффициенты, которые следует еще определить.
Интегрирование неправильной рациональной дроби сводят к интегрированию правильной рациональной дроби выделением из первой целой части.
