Краткие теоретические сведения. Понятие неопределенного интеграла

 

Понятие неопределенного интеграла

Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на некотором промежутке Х, если для любого элемента выполняется равенство F' (x) = f (x).

Если F (x) — одна из первообразных для функции f (x) на промежутке Х, то всякую другую первообразную Ф (х) на промежутке Х можно представить в виде Ф (х) = F (x) + с, где с — постоянная величина.

Неопределенным интегралом от функции f (x) называется множество всех ее первообразных, т. е. .

При этом f (x) — подынтегральная функция, f (x) dx — подынтегральное выражение, знак неопределенного интеграла, х —
переменная интегрирования.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

 

Свойства неопределенного интеграла:

1.

2.

3.

4. где с — постоянная величина.

5. .

6. Если = F (x) + c и — дифференцируемая функция, то = F (и) + c.

 

 

Таблица основных неопределенных интегралов:

1.

2.

3.

4. .

5. .

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

Интегрирование методом замены переменной и по частям

Метод замены переменной проводится по формуле

где х = — некоторая дифференцируемая функция.

 

Если и = и (х), v = v (x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедлива формула интегрирования по частям

Интегрирование простейших рациональных дробей

Интегрирование проводят в зависимости от типа простейшей рациональной дроби.

1. (А, а — постоянные действительные числа) — простейшая рациональная дробь первого типа.

Пример. = = = = = = .

 

2. (А, а, т — постоянные числа, , ) — простейшая рациональная дробь второго типа.

Пример. = = = =
= = = .

3. (М, N, p, q — постоянные числа, М, N, p, q , х ² + рх + q не имеет действительных корней) — простейшая рациональная дробь третьего типа.

Пример. = + =
= dx + = dx – ·
· + 5 · = =
= – = – =
=[ d (x + 2) = (x + 2) 'dx = dx ] = – = ·
· – arctg (x + 2) + c.

 

4. (М, N, р, q — постоянные числа, М, N, р, q , , ; х ² + рх + q не имеет действительных корней) — простейшая рациональная дробь четвертого типа.

Интеграл от этой дроби считается с помощью рекуррентных формул, позволяющих уменьшить число т до 1.

 

Интегрирование правильных и неправильных рациональных дробей

Рациональная дробь (Q_n (x), Q_m (x) — некоторые многочлены степеней n и m соответственно) называется правильной, если , и неправильной в противном случае (если ).

Для интегрирования правильной дроби ее предварительно раскладывают на простейшие дроби. Для этого многочлен Q_n (x) разлагают на неприводимые множители. Общий вид такого разложения следующий:

= + + … +
+ + … + + … + + +
+ +…+ ,

где А ₁, А ₂, …, А_k, В ₁, В ₂, …, В_r , М ₁, М ₂, …, М_s , N ₁, N ₂, …, N_s — некоторые неопределенные действительные коэффициенты, которые следует еще определить.

 

Интегрирование неправильной рациональной дроби сводят к интегрированию правильной рациональной дроби выделением из первой целой части.