Если каждому натуральному n из множества натуральных чисел по некоторому правилу поставить в соответствие действительное число xn, то множество пронумерованных чисел
x 1, x 2, x 3, …, xn, … (1)
называется числовой последовательностью.
При этом числа xi (i = 1, 2, 3, …, n, …) называются членами последовательности, символ xn — общим членом, а число n является его номером.
Например, общий член xn задается некоторой формулой xn = n 2. Полагая поочередно n = 1, 2, 3, …, получим числовую последовательность 1, 4, 9, ….
Предел и непрерывность функции
Пусть X и Y — некоторые множества, и пусть каждому 
поставлен в соответствие по определенному правилу f единственный элемент 
. Тогда говорят, что на множестве X задана функция одной переменной со значениями в множестве Y. Обозначение: y = f (x). В этом случае X — область определения функции. Обозначение: D (f).
Всякий интервал, содержащий точку x 0, называется окрестностью точки x 0.
Пусть 
. Интервал (x 0 – 
; x 0 + ) называется - окрестностью точки x 0.
Определение предела функции по Коши. Пусть функция y = f (x) определена в -окрестности точки x 0 за исключением, быть может, точки x 0. Тогда, если для любого , сколь угодно малым бы оно ни было, существует такое 
, что для всех 
, удовлетворяющих неравенству 
, выполняется неравенство 
, то число B называется пределом функции в точке x 0. Обозначение: 
.
Число В называется пределом функции f (x) в бесконечности, если для любого даже сколь угодно малого положительного числа 
найдется такое 
, что для всех , удовлетворяющих неравенству 
, выполняется неравенство 
. Обозначение: 
.
Если для всех 
и 
выполняется неравенство 
, то 
. Если для всех 
и 
выполняется неравенство , то 
.
Рассмотрим 
, 
(
). Если существует предел функции при х, стремящемся к х 0, то он называется левым (правым) пределом функции в точке х 0. Обозначение: 
.
Факт существования в точке х 0 предела функции у = f (x) равносилен факту существования в этой точке равных между собой односторонних пределов 
.
Функция y = f (x) называется непрерывной в точке х 0, если бесконечно малому приращению 
аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение 
функции (рис. 10).
|
| Рис. 10 |
Функция y = f (x) называется непрерывной в точке х 0, если предел функции в точке х 0 равен значению функции в этой точке, т. е. 
.
Функция f (x) называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва функции.
Элементарные функции
Основными элементарными функциями называют следующие функции:
1. Постоянную функцию у = с, с — const.
2. Степенную функцию у = х 
, 
— любое действительное число.
3. Показательную функцию у = ах (0 < a 
1).
4. Логарифмическую функцию 
.
5. Тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x,
y = ctg x.
6. Обратные тригонометрические функции y = arcsin x, y = arccos x,
y = arctg x, y = arcctg x.
Функцию, аналитическое выражение которой можно получить при помощи конечного числа арифметических операций над основными элементарными функциями, а также при помощи операции взятия функции от функции, назовем элементарной функцией.
Пример.
Функции f (x) = arcsin (log5(x 2 + 1)), f (x) = 
, f (x) = 
являются элементарными.
Областью определения D (y) функции y = f (x) называется множество значений аргумента х, для каждого из которых существует вполне определенное числовое значение функции.
Теорема. Если 
элементарной функции y = f (x), то 
= f (x 0).
Например, 
.
Теоремы о пределах
1. Функция y = f (x) в точке х 0 не может иметь более одного предела.
2. Предел постоянной величины равен самой этой величине, т. е. 
.
3. Пусть f 1(x) и f 2(x) — функции, для которых существуют пределы при 
: 
, 
.
Тогда:
3.1. Существует и предел алгебраической суммы этих функций, причем предел этой алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов, т. е.
= А В.
3.2. Существует и предел произведения этих функций, причем предел этого произведения равен произведению этих пределов:
· = А · В.
3.3. Если В 0, то существует и предел частного этих функций, причем предел этого частного равен частному пределов, т. е.
Формулировка для случая, когда 
, аналогична.
Функция g (x) называется бесконечно малой функцией при 
(), если
.
Функция f (x) называется бесконечно большой функцией при (), если для любого Р > 0 найдется положительное число 
, что для всех , удовлетворяющих условию 
(
), выполняется неравенство 
. Обозначение: 
(
).
Если f (x) 
при и f (x) принимает только положительные (отрицательные) значения, то пишут
.
Теорема (о связи между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями)
Если g (x) — бесконечно малая функция при (), то 
— бесконечно большая функция при ().
Если f (x) — бесконечно большая функция при (), то 
— бесконечно малая функция при ().
Замечательные пределы
— первый замечательный предел.
— второй замечательный предел (
).
Вычисление пределов вида 
(2)
Для вычисления пределов вида (2) вычисляем пределы 
, 
. Могут встретиться следующие ситуации:
1. Если А, В — конечные числа, тогда С = АВ.
2. Если А = 1, В = 
, тогда для вычисления предела (2) применяют второй замечательный предел.
Во всех остальных случаях задачу вычисления предела (2) решают непосредственно.
