Лабораторна робота № 1. Побудова фазових портретів лінійних і нелінійних систем

ВСТУП

 

“Natura scrita in lingua matematica” – “Природу написано мовою математики” - з цього щирого здивування Галілео Галілея бере початок уся новітня наука, принаймні європейська. Пройшло три століття – наші уявлення про навколишній світ та математичний апарат, яким ми послуговуємося, змінилися безмежно, але це здивування - здивування можливістю людського розуму за допомогою математичних категорій та формальних перетворень знаходити закономірності, що описують явища із різноманітніших царин людського знання – фізики, хімії, біології, економіки, соціології, лінгвістики тощо – раз-по-раз виринає із за сторінок сухих наукових статей та грубезних монографій. “Про дивовижну ефективність математики у природничих науках” - так назвав свій програмовий есей всесвітньо відомий фізик, Нобелівський лауреат Едвард Вігнер. “Щодо єдності математики чистої та прикладної” – це вже назва статті нашого співвітчизника, одного із засновників вітчизняної школи прикладної математики, академіка АН СРСР М. М. Моісеєва.

Ці методичні вказівки присвячені розгляду математичного апарату низки математичних теорій, що дозволяють виявити якісні аспекти феномена, що розглядається, - саме такі аспекти становлять предмет системноаналітичних студій: якісної теорії диференціальних рівнянь та теорії катастроф. Автори намагалися проілюструвати ці теорії прикладами із фізики, біології, екології, інших наук.

Математична модель – це спрощений опис реальності за допомогою математичних понять. Математичне моделювання – процес побудови і вивчення математичних моделей реальних процесів та явищ. Усі природничі і суспільні науки, які використовують математичний апарат, по суті займаються математичним моделюванням: замінюють реальний об’єкт його моделлю і досліджують останню. Як і у випадку будь-якого моделювання, математична модель не описує повністю явище, що вивчається, і питання про застосовність отриманих таким чином результатів є досить суттєвим (істотним).

Метою математичного моделювання є дослідження(хоч би на якісному рівні) поведінки системи, передбачення її поведінки у майбутньому і, за можливістю, керуванняпроцесом чи системою.

Математичне моделювання реального процесу або об'єкту складається з декількох етапів. Спочатку проводиться опис процесу на «змістовному» рівні, потім будується математична модель процесу. Ця модель досліджується, отримані для моделі висновки і результати звіряються з поведінкою реального процесу. Якщо отримані результати сильно розбігаються із спостережуваними фактами, модель слід або уточнити, або відкинути і будувати абсолютно нову. Досвід показує, що громіздка і складна модель не може бути адекватною дійсності. Всі фундаментальні закони природи (наприклад, закони Ньютона і знаменита формула Ейнштейна Е=mc²) мають простий і елегантний вигляд. Навчити будувати моделі неможливо, єдиної теорії моделювання не існує. Моделювання — не наука, а мистецтво. Щоб навчитися моделювати, треба вирішувати конкретні завдання.

Дана робота містить методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з курсу «Основи системного аналізу». Тут розглядаються лише моделі, що описуються звичайними диференціальними рівняннями і їх системами. Під час побудови звичайних диференціальних рівнянь як моделей соціальних, економічних, екологічних процесів, важливе, а іноді й головне значення має знання законів той галузі, з якою пов’язана природа явища або процесу, що вивчається. Так, наприклад, в механіці це можуть бути закони Ньютона, в теорії електричних ланцюгів – закони Кирхгофа, в теорії хімічних реакцій – закон дії мас тощо. Звичайно, на практиці іноді виникають випадки, коли невідомі закони, що дозволяють скласти диференціальне рівняння, і тому вдаються до різних припущень (гіпотез), що стосуються протікання процесу. При цьому, якщо виявиться, що результати дослідження отриманого диференціального рівняння відповідають спостережуваним даним, то це й буде означати, що виказана гіпотеза справедлива (має місце на практиці).

Лабораторна робота № 1 стосується дослідження динамічних систем на стійкість, аналізу поведінки системи, побудови фазового портрету. Лабораторна робота № 2 присвячена теорії біфуркацій нелінійних динамічних систем. В лабораторній роботі № 3 виявляються катастрофи в системах, і досліджується їх тип. Лабораторна робота № 4 – комплексна, присвячена побудові математичної моделі конкретного динамічного процесу і дослідження її методами, що використовувались при виконанні попередніх лабораторних робіт.

 

Автори вдячні студенткам факультету прикладної математики Анастасії Хірі та Ользі Сазоновій за допомогу із набором тексту вказівок.

 

Лабораторна робота № 1. Побудова фазових портретів лінійних і нелінійних систем

Постановка задачі

Дана система звичайних диференціальних рівнянь:

1) знайти всі особливі точки системи;

2) визначити тип рівноваги і її стійкість;

3) зобразити фазовий портрет системи.