Пересечение кривых поверхностей плоскостью

 

Для построения линии пересечения поверхности плоскостью в общем случае применяется метод вспомогательных секущих плоскостей. Точки искомой линии определяются, как точки пересечения линий, по которым вспомогательные секущие плоскости пересекают данные поверхность и плоскость.

При подборе вспомогательных плоскостей необходимо стремится к упрощению построений. Предпочтение следует отдавать проецирующим плоскостям, пересекающим заданную поверхность по возможно более простым линиям.

Важен также правильный и последовательный порядок построения особых точек проекций сечения:

- высшей и низшей точек сечения (они принадлежат меридиану, перпендикулярному секущей плоскости);

- точек касания проекций сечения к проекциям видимого контура кривой поверхности, если такие имеются (границы видимости);

- точек наиболее и наименее удаленных от плоскостей проекций.

На рис. 10.1. изображено тело вращения, срезанное плоскостью, заданной трапецией ABCD. Для построения точек кривых линий, получаемых на поверхности, применены вспомогательные горизонтальные плоскости, пересекающие поверхность по параллелям, а плоскость по горизонталям.

 

Рис. 10.1.

 

Рассмотрим для примера одну из них . Поверхность вращения эта плоскость пересекает по параллели- окружности радиуса 0 ₂1₂, а плоскость ABCD по горизонтали A’D’//AD. В пересечении параллели и горизонтали находим точки M и N, принадлежащие одновременно и поверхности вращения и плоскости, следовательно, являющиеся точками искомой линии пересечения. Повторяя этот прием получим ряд точек, определяющих криволинейную часть линии среза. Плоские грани данного тела вращения срезаны плоскостью ABCD по прямым AB и CD.

Решение задачи существенно упрощается, если поверхность пересекается проецирующей плоскостью.

На рис. 10.2. показано построение линии пересечения самопересе­кающегося тора и фронтально-проецирующей плоскости . Фронтальная проекция линии пересечения совпадает со следом проекцией плоскости между опорными точками А и В, лежащими на фронтальном очерке тора, а горизонтальная проекция определяется по принадлежности точек этой линии поверхности тора (так как тор является поверхностью вращения- по принадлежности их соответствующим параллелям и меридианам). Построение

 

Рис. 10.2.

начинаем с определения особых точек: высшей и низшей точек А и В, и точек, лежащих на горизонтальном очерке M и N (границ видимости). Фронтальные проекции точек А и В лежат на фронтальном очерке, следовательно, их горизонтальные проекции А ₁ и В ₁ лежат на горизонтальной осевой линии. Точки M и N принадлежат экватору тора, следовательно, их горизонтальные проекции лежат на горизонтальном очерке тора и отделяют зону видимости линии пересечения (от точки В до точек M и N) от невидимой части кривой.

Для нахождения промежуточных точек используем параллели соответствующего радиуса, на которых лежат точки пересечения. Например, точки С и D лежат на параллели радиуса 0 ₂1₂. Проведя горизонтальную проекцию этой параллели, проецируем на нее точки С и D. Аналогично определяются горизонтальные проекции других промежуточных точек (E,F,K,L). Соединив полученные точки на горизонтальной проекции в той же последовательности, как они соединены на фронтальной проекции, с учетом видимости получаем горизонтальную проекцию линии пересечения.

При пересечении поверхности плоскостью общего положения, способом преобразования чертежа можно плоскость преобразовать в проецирующую и решение задачи свести к решению, аналогичному рассмотренному выше.

 

Задачи

 

10.1.1. Построить недостающую проекцию цилиндра вращения и построить его сечение плоскостью .

 

 

10.1.2. Построить сечение заданного цилиндра плоскостью .

 

 

10.1.3. Построить профильную проекцию цилиндра и его сечение горизонтальными и профильными плоскостями.

 

 

10.1.4. Рассечь данный цилиндр плоскостью, параллельной его оси и наклоненной к плоскости под углом 45⁰ так, чтобы сечение было равновелико данному квадрату. Указать количество решений.

 

 

10.1.5. Построить проекции и натуральную величину сечения цилиндра плоскостью , заданной пересекающимися прямыми h и f.

 

 

10.1.6. Построить проекции и натуральную величину сечения конуса вращения плоскостью .

 

10.1.7. Построить сечение конуса плоскостью .

 

 

 

10.1.8. Дана прямая а ₁ лежащая в основании конуса. Построить плоскость , проходящую через эту прямую, и рассекающую конус по параболе. Построить проекции сечения.

 

10.1.9. Построить проекции и натуральную величину сечения конуса плоскостью , заданной пересекающимися прямыми h и f.

 

10.1.10. Построить горизонтальную и профильную проекции сечения конуса вращения горизонтальными и фронтально- проецирующими плоскостями.

10.1.11. Построить сечения сферы плоскостью, заданной прямой а и точкой А на поверхности сферы.

 

 

 

10.1.12. Построить на сфере кратчайшее расстояние между точками А и В на ней.

 

10.1.13. Построить горизонтальную и профильную проекции сечения сферы горизонтальными и профильными плоскостями.

 

10.1.14. Построить проекции и натуральную величину сечения тора плоскостью .