Проекции прямых общего и частного положения

ВВЕДЕНИЕ

 

Учебный процесс по начертательной геометрии включает следующие формы обучения: лекции, самостоятельную работу студентов (СРС), практические занятия, контроль знаний по темам курса, выполнение графических работ, экзамен.

Лекции. На лекциях студенты получают основную информацию по теоретическим основам курса, знакомятся с методами решения задач.

СРС. Теоретический материал углубленно изучается по рекомендованным учебникам и закрепляется решением упражнений, помещенных в этой тетради. Выполняются расчетно-графические работы по индивидуальным заданиям.

Практические занятия.

1. Преподаватель проверяет задачи, самостоятельно решенные студентами и консультирует группу по материалу темы.

2. Проводится контроль знаний, оценивается степень подготовки студентов к практическим занятиям.

3. Решаются задачи из тетради или выполняются расчетно-графические работы.

Рабочая тетрадь включает материал, обеспечивающий закрепление знаний по темам курса в процессе самостоятельной работы студентов, а также материалы, необходимые для проведения практических занятий и выполнения расчетно-графических работ.

Учебный материал сгруппирован по практическим занятиям в соответствии с рабочей программой курса. В разделе для каждого практического занятия содержатся:

1. Краткие теоретические сведения и методические указания к изучаемой теме.

2. Упражнения для самостоятельного решения студентами после прослушанной лекции.

3. Условие задач, рекомендованных для решения на практических занятиях под руководством преподавателя.

В рабочей тетради приняты обозначения:

Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита (А, B, C, D,…), а также цифрами – 1, 2, 3,…

Линии обозначаются строчными буквами латинского алфавита – а, b, с, d,…

Плоскости обозначаются буквами греческого алфавита – a, b, g, e, p,…

Плоскости проекций обозначаются:

p₁ – горизонтальная плоскость проекций,

p₂ – фронтальная плоскость проекций,

p₃ – профильная плоскость проекций.

Проекции точек, линий, плоскостей обозначаются теми же буквами, что и оригиналы, только с индексами, соответствующими индексам плоскостям проекций – А ₁, А ₂... 1₁, 1₂,...

 

ТОЧКА И ЕЕ ПРОЕКЦИИ

 

Модель проецирования точки Комплексный чертеж точки

Рис. 1.1 Рис. 1.2

 

Определитель точки пространства – координаты х, y, z точки, то есть расстояния точки от трех координатных плоскостей. Принимается, что плоскости проекций совмещены с координатными.

Условная запись определителя точки: А (х, y, z).

Проекцией точки называется точка пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций.

Комплексным чертежом называется плоский чертеж, состоящий из проекций изображаемого образа, размещенных в проекционной связи друг с другом. Линия проекционной связи всегда перпендикулярна оси проекций, разделяющие данные изображения.

Комплексный чертеж точки содержит две проекции точки, связанные между собой линией проекционной связи.

Для комплексного чертежа точки имеют такие положения:

1. Фронтальная и горизонтальная проекции точки всегда располагаются на вертикальной линии связи (А ₂ А ₁ ^ ох).

2. Фронтальная и профильная проекции точки всегда располагаются на горизонтальной линии связи (А ₂ А ₃ ^ оz).

3. Расстояние от фронтальной проекции точки до оси ох определяет высоту и определяется координатой z. Расстояние от горизонтальной проекции точки до оси ох определяет глубину точки и определяется координатой y.

4. По горизонтальной и фронтальной проекциям точки всегда можно построить ее профильную проекцию. Для этого на горизонтальной линии связи, проведенной через А ₂, откладываются от оси оz координата y (координатным или графическим путем).

 

Контрольные вопросы

1. К каким проекциям относится ортогональная проекция точки?

2. Что такое чертеж точки?

3. Как получается чертеж в системе p₁, p₂, p₃?

4. Как на чертеже определяется расстояние точки от плоскостей проекций p₁, p₂, p₃?

5. При каком условии точки А и В находятся на одинаковом расстоянии от плоскости p₃?

6. К какой из плоскостей проекции ближе всех расположена точка К (50, 30, 20)?

7. Сколько проекций точки определяют ее положение в пространстве?

8. При каком условии точка А будет равноудалена от плоскостей проекций p₁, p₂, p₃?

 

Задачи

 

1.1.1. Построить чертеж точек: А (40, 15, 20); В (30, 30, 0); С (40, 0, 20); D (0, 30, 30). Построить наглядное изображение.

1.1.2. Построить третьи проекции т. А, В, С, D.

 

 

1.1.3. Построить третьи проекции т. А, В, С, D.

 

 

1.1.4. Построить третью проекцию точек. Измерить и записать координаты точек. Построить наглядное изображение точек.

 

 

1.1.5. Построить проекции точки В, расположенной на 20 мм выше плоскости p₁ и на 15 мм ближе к плоскости p₂, чем данная точка А.

 

 

1.1.6. Построить проекции точек А и В симметричных точке С (20, 15, 30) относительно плоскости p₁ и начала координат.

 

1.1.7. По проекции А ₂ построить проекции А ₂ и А ₃ так, чтобы z = (А ₂ - произвольно).

 

 

 

1.1.8. По проекции В ₃ построить проекции А ₁и А ₂ так, чтобы y = 2 x (В ₃ - произвольно).

 

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ПРЯМОЙ

 

Рис. 2.1. Проекция прямой Рис. 2.2. Следы прямой

 

 

Рис. 2.3. НВ отрезка прямой

 

 

- Определитель прямой: две точки (АВ) или отрезок (l).

- Точка принадлежит прямой, если проекции точки принадлежат однои­менным проекциям прямой.

- Проекциями прямой, в общем случае, являются прямые линии.

- Точки пересечения прямой с плоскостями проекций называются следа­ми прямой и определяются как особые точки прямой, одна из координат которых равна нулю.

- Натуральная величина (НВ ) отрезка прямой общего положения опреде­ляется величиной гипотенузы прямоугольного треугольника, построенного на одной из проекций, как на катете. Второй катет треугольника равен разности расстояний концов отрезка от той плоскости проекций, на которой взят первый катет.

 

Проекции прямых общего и частного положения

 

l (l ₁ l ₂) h(3.4) ççp₁; f(5.6) ççp₂

Рис. 2.4. Прямая общего положения Рис. 2.5. Прямые уровня

 

 

 

Рис. 2.6. К (9.10) ^ p₁; t (7.8) ^p₂ Прямые проецирующие

Контрольные вопросы

 

1. Сколько проекций прямой определяют ее положение в пространстве?

2. При каком расположении относительно плоскостей проекций прямая называется прямой общего положения?

3. Как называются прямые, параллельные плоскостям проекций p₁, p₂, p₃.

4. Как можно определить по чертежу лежит ли точка на прямой?

5. Что называется следом прямой?

6. Как определяется натуральная величина отрезка прямой общего положения?

7. Возможные взаимные расположения двух прямых в пространстве?

8. Как определяется видимость линий на чертеже?

9. В каком случае прямой угол проецируется в натуральную величину?

Задачи

 

2.2.1. Построить на эпюре третью проекцию прямой и недостающие проекции принадлежащей ей точки К.

 

 

а)	б)
в)	г)
д)	е)
ж)	з)

2.2.2. Построить на прямой точки:

А с координатой z = 25мм.

В с координатой z = 0мм.

С с координатой y = 20мм.

 

2.2.3. Дана ломанная линия ABCDE. Найти натуральную величину (НВ) этой ломанной линии. Построить на отрезке CD точку К, если СК = 15мм.

2.2.4. Определить натуральную величину (НВ ) отрезка АВ и угол наклона его к плоскости проекций p_1.

 

2.2.5. На прямой l отложить отрезок АВ = 30мм.

 

2.2.6. Построить проекции точки С принадлежащей прямой АВ и удаленной от плоскости p₂ на 25мм.

2.2.7. Построить фронтальную проекцию точки А, отстоящей от точки В на 40мм.

 

2.2.8. Через точку М провести прямую l, параллельную прямой k.

 

2.2.9. Через точку А провести прямую АВ, параллельную прямой KL.

 

2.2.10. Через точку А провести горизонтальную прямую h, пересекающую прямую k.

 

2.2.11. Провести фронтальную прямую f, находящуюся от плоскости p₂ на расстоянии 25мм и пересекающую параллельные прямые a и b.

 

2.2.12. Через точку М провести прямую k, пересекающую прямую а и ось z.

2.2.13. Построить проекции прямой, параллельной прямой a и пересекающей прямые b и d.

 

2.2.14. Через точку Е провести прямую, пересекающую прямые АВ и CD.

2.2.15. Построить проекции равнобедренного АВС. Если СМ – высота АВС; СМ || p₁; А p₁; B p₂.

 

 

 

2.2.16. АС диагональ ромба ABCD. В p₁. Вершина D равноудалена от плоскостей p₁ и p₂. Построить проекции ромба, если АС || p₂.

 

 

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ПЛОСКОСТИ

Рис. 3.1. Модель плоскости Рис. 3.2. Чертеж плоскости

 

1. На чертеже плоскость может быть задана: проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой; проекциями прямой и точки вне этой прямой; проекциями параллельных прямых; проекциями пересекающихся прямых; проекциями плоской фигуры; следами.

2. Прямая принадлежит плоскости, если она проведена через две точки, заведомо лежащие в этой плоскости или проходит через одну и параллельна прямой, лежащей в этой плоскости.

3. Точка принадлежит плоскости, если она построена на прямой, принадлежащей заданной плоскости.

4. По отношению к плоскости проекций плоскости разделяются на плоскости общего положения и плоскости частного положения – проецирующие (перпендикулярные к одной из плоскостей проекций) и уровня (параллельные к одной из плоскостей проекций).

5. В плоскости можно провести линии уровня (горизонталь, фронталь, профильная прямая), линию наибольшего наклона к каждой из плоскостей проекций.

 

 

Рис. 3.3. Горизонталь Рис. 3.4. Фронталь

 

Задачи

 

3.1.1. Построить l ₁ и m ₂ прямых, лежащих в плоскости АВС.

 

 

3.1.2. Построить m ₂ прямой m, лежащей в плоскости a(k çç l).

 

 

3.1.3. Построить горизонтальную проекцию АВС, лежащего в плоскости e(k çç l).

 

3.1.4. Построить профильную проекцию АВС и недостающие проекции точки М, принадлежащей АВС.

 

3.1.5. Построить D ₂ и E ₁ точек D и E, принадлежащих плоскости a(а çç b).

3.1.6. Построить горизонтальную проекцию пятиугольника A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ E ₁ по фронтальной проекции и горизонтальной проекции двух смежных сторон А ₁ В ₁ С ₁.

3.1.7. Построить горизонтальную проекцию АВС, принадлежащего плоскости a(f Ç h).

3.1.8. Провести в каждой из заданных плоскостей горизонталь (h) на расстоянии 15 мм от p₁ и фронталь (f) на расстоянии 20 мм от p₂.

 

 

3.1.9. В плоскости a(а Ç b) построить недостающую проекцию горизонтали (h ₁).

 

 

3.1.10. Построить горизонтальный след плоскости a, заданной фронтальным следом f ⁰ и точкой А.

3.1.11. Определить горизонтальную проекцию прямой m, проходящей через точку А и параллельную плоскости a(f Ç h).

3.1.12. Через прямую а провести плоскость a параллельную прямой b.

 

 

3.1.13. Построить проекции горизонтальной прямой, параллельной плоскости a(а çç b) и проходящей через точку А.

 

3.1.14. Построить горизонтальную проекцию АВС, плоскость которого параллельна прямой а.

3.1.15. Построить горизонтальную проекцию АВС,плоскость которого параллельна плоскости å (h Ç f), (А ₂ В ₂ çç f ₂).

3.1.16. Через точку М провести профильную прямую (M - N), параллельную плоскости å(f Ç h).

3.1.17. Через точку А провести плоскость å, параллельную прямой.

 

 

а) б)