| X | Y | ||||||||||
| P | 0,2 | 0,2 | 0,5 | 0,1 | P | 0,1 | 0,5 | 0,3 | 0,1 |
| X | Y | ||||||||||
| P | 0,2 | 0,4 | 0,3 | 0,1 | P | 0,1 | 0,5 | 0,2 | 0,2 |
| X | Y | ||||||||||
| P | 0,1 | 0,2 | 0,5 | 0,2 | P | 0,1 | 0,4 | 0,2 | 0,3 |
| X | Y | ||||||||||
| P | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,2 | P | 0,2 | 0,4 | 0,3 | 0,1 |
| X | Y | ||||||||||
| P | 0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,4 | P | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,1 |
| X | Y | ||||||||||
| P | 0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,4 | P | 0,2 | 0,1 | 0,5 | 0,2 |
| X | Y | ||||||||||
| P | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,3 | P | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,1 |
| X | Y | ||||||||||
| P | 0,3 | 0,5 | 0,1 | 0,1 | P | 0,1 | 0,4 | 0,3 | 0,2 |
| X | Y | ||||||||||
| P | 0,1 | 0,2 | 0,2 | 0,5 | P | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,4 |
ЗАДАЧА 11 (№ 1–10)
Пусть всхожесть семян ржи составляет а%. Случайная величина Х – количество взошедших семян ржи из п посеянных семян. Составить закон распределения случайной величины Х, построить полигон распределения и вычислить его числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
(№ 11-20)
В среднем по а% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Случайная величина Х – число договоров, связанных с выплатой страховой суммы из п рассмотренных договоров с наступлением страхового случая. Составить закон распределения случайной величины Х, построить полигон распределения и вычислить его числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
(№ 21-40)
Пусть а% изделий данного предприятия – это продукция высшего сорта. Некто приобрел п изделий, изготовленных на этом предприятии. Случайная величина Х – число изделий высшего сорта из п приобретенных изделий. Составить закон распределения случайной величины Х, построить полигон распределения и вычислить его числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
| № | а | п | № | а | п | |
Решение типового примера. Заданы законы распределения двух случайных величин 
и 
.
| X | –5 | |||
| P | 0,5 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
| Y | ||
| P | 0,2 | 0,8 |
Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины
Решение. Найдем математические ожидания и дисперсию для случайных величин и 
Напишем законы распределения для случайных величин 
и 
:
|
| ||||
| P | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
|
| ||
| P | 0,2 | 0,8 |
Найдем математическое ожидание для случайных величин и :
Отсюда,
Наконец, пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии, а также независимостью случайных величин и , получаем:
ЗАДАЧА 12
Случайная величина задана функцией распределения вероятностей 
. Найти: 1) вероятность попадания случайной величины в интервал 
; 2) плотность распределения вероятностей случайной величины (т.е 
); 3) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины ; 4) Построить графики функций и .
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18.
19.
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
32. 
33. 
34. 
35. 
36. 
37. 
38. 
39. 
40. 
Решение типового примера. Случайная величина задана функцией распределения вероятностей
Найти: 1) вероятность попадания случайной величины в интервал 
;
2) плотность распределения вероятностей случайной величины (т.е ); 3) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины ; 4) Построить графики функций и .
Решение. 1) Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале , равна приращению функции распределения на этом интервале:
2) Найдем плотность распределения вероятностей случайной величины по формуле
.
Получаем
3) Математическое ожидание случайной величины находим по формуле
.
Имеем
.
Дисперсию находим по формуле
Имеем
Отсюда 
.
4) Построим график функции 
.
| x | -4 | -3 | -2 | -1 | |
| F(x) | 0,1 | 0,1 | 0,44 |
при 
– графиком является часть прямой, совпадающая с осью абсцисс (рис. 1).
при 
– графиком является часть параболы, с вершиной в точке (-3; 0).
при 
– графиком является часть прямой, параллельная оси абсцисс.
Рис. 1
Построим график функции плотности 
.
при 
– графиком является часть прямой, совпадающей с осью абсцисс (рис. 2). 
при 
– графиком является часть прямой 
.
| x | -3 | |
| 0.66 |
Рис. 2
Литература
1. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика / Н.Ш. Кремер. - М.: ЮНИТИ, 2001, - 543 с.
2. Зайцев, И.А. Высшая математика / И.А. Зайцев. - М.: Высш. шк., 1998. – 409 с.
3. Созутов, А.И. Теория вероятностей / А.И. Созутов, В.П. Сакулин. - Красноярск: Изд-во КрасГАСА 2001. - 74 с.
4. Чубарев, А.М. Невероятная вероятность / А.М. Чубарев, В.С. Холодный. - М.: Знание, 1976. - 126 с.
5. Федорова, Е.Н. Теория вероятностей. Обучающая и контролирующая программа по теме «Нормальное распределение» / Е.Н. Федорова. - М.: Изд-во ВСХИЗО, 1988. - 31 с.
6. Федорова, Е.Н. Высшая математика. Обучающая и контролирующая программа по теме «Биноминальное распределение» / Е.Н. Федорова. - М.: Изд-во ВСХИЗО, 1990. - 27 с.
7. Федорова, Е.Н. Высшая математика. Обучающая и контролирующая программа по теме «Приближенные формулы биноминального распределения» / Е.Н. Федорова. - М.: Изд-во ВСХИЗО, 1991. - 26 с.
8. Малышева, О.Г. Основы теории вероятностей / О.Г. Малышева. - Красноярск: Изд-во КрасГАУ, 1998. - 64 с.
9. Раскин, В.Г. Высшая математика и математические модели в расчетах на ЭВМ / В.Г. Раскин, С.Н. Дементьев. - М.: Изд-во ВСХИЗО, 1990. - 124 с.
10. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман. - М.: Высш. шк., 2001. - 400 с.
11. Гурский, Е.И. Теория вероятностей с элементами математической статистики / Е.И. Гурский. - М.: Высш. шк., 1971. - 328 с.
