ЗАДАЧА 5 (№ 1–10)
На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовлено 1000 деталей одного наименования. На первом станке изготовлено n1 штук деталей, на втором станке – n2 штук деталей и на третьем оставшиеся, т.е. 1000 – n1–n2. Вероятность каждой детали быть бездефектной равна 94%, если она изготовлена на первом станке, 95% – если на втором станке и 9 6% – если деталь изготовлена на третьем станке. Найдите вероятность того, что наугад взятая деталь окажется с дефектом.
(№ 11–20)
Квалификационную норму выполняла группа спортсменов из 1000 человек, среди которых было: n1 – лыжников, n2 – конькобежцев, остальные саночники, т.е. 1000 – n1 – n2. Вероятность выполнить квалификационную норму для лыжника равна 94%, для конькобежца – 95%, для саночника – 96%. Найдите вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен не выполнит норму.
(№ 21–40)
На склад завезли 1000 шуб: из Греции – n1 штук, из Аргентины – n2 штук, из Германии остальные шубы, т.е. 1000 – n1 – n2. В партии шуб завезенных из Греции 6% бракованных шуб, из Аргентины – 5% бракованных шуб, из Германии – 4% бракованных шуб. Наудачу выбирается одна шуба из 1000 поступивших. Определите вероятность того, что выбранная шуба бракованная.
| № | n1 | n2 | № | n1 | n2 | № | n1 | n2 | № | n1 | n2 | |||
| № | n1 | n2 | № | n1 | n2 | № | n1 | n2 | № | n1 | n2 | |||
ЗАДАЧА 6 (№ 1–10)
В магазин поступила обувь от трех поставщиков. Первый поставщик доставляет m1% пар обуви, второй – m2% пар обуви и третий – m3% пар обуви.
Среди обуви доставленной первым поставщиком – n1% качественной, вторым – n2% качественной обуви и третьим – n3% качественной обуви. Куплена одна пара обуви и она оказалась бракованной. Определите наиболее вероятного поставщика этой бракованной пары обуви.
(№ 11–20)
В спартакиаде принимают участие спортсмены из трех регионов: Урала, Сибири и Дальнего Востока. Из Сибири участвуют – m1%, с Дальнего Востока – m2%, с Урала – m3% всех участников. Среди спортсменов Сибири n1% мастеров спорта, Дальнего Востока – n2% мастеров спорта и Урала – n3% мастеров спорта. Выбирают одного спортсмена из всех участников спартакиады, и он оказался не мастер спорта. Определите, наиболее вероятнее к какому региону он принадлежит.
(№ 21–40)
В группе туристов оказались люди, изучавшие английский, немецкий и французский языки. Из них: английский изучали – m1%, немецкий – m2%, французский – m3%.
Среди туристов изучающих английский в совершенстве владеет языком – n1%, изучающих немецкий – n2%, изучающих французский язык – n3%. Произвольным образом отобрали из группы одного туриста, который, как оказалось, только понимает язык, но не говорит на нем. Определите, наиболее вероятнее к какой подгруппе туристов он относится.
| № | m1 | m2 | m3 | n1 | n2 | n3 | № | m1 | m2 | m3 | n1 | n2 | n3 | |
ЗАДАЧА 7 (№ 1–10)
Пусть всхожесть семян ржи составляет а%. Какова вероятность того, что из n посеянных семян ржи взойдет не менее к семян?
(№ 11–20)
В среднем по а% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из n договоров с наступлением страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы не более к договоров.
(№ 21–40)
Пусть а% изделий данного предприятия – это продукция высшего сорта. Некто приобрел n изделий, изготовленных на этом предприятии. Какова вероятность того, что из n приобретенных изделий не более к изделий высшего сорта?
| № | а | n | к | № | а | n | к | |
ЗАДАЧА 8 (№ 1–10)
Известно, что в среднем а% всего числа изготовляемых заводом телефонных аппаратов является продукцией первого сорта. Чему равна вероятность того, что в партии из n штук аппаратов окажется от к1 до к2 штук аппаратов первого сорта? Найдите вероятнейшее число телефонных аппаратов первого сорта к0 в данной партии и вычислите соответствующую вероятность Р(к0).
(№ 11–20)
Вероятность вызревания кукурузного стебля с тремя початками равна а%. Чему равна вероятность того, что среди n стеблей кукурузы число вызревших будет от к1 до к2 штук? Найдите наивероятнейшее число вызревших стеблей к0 и вычислите соответствующую вероятность Р(к0).
(№ 21–40)
При обследовании уставных фондов банков установлено, что а% банков имеют уставной фонд свыше ста миллионов рублей. Найти вероятность того, что среди обследуемых n банков имеют уставной фонд свыше ста миллионов рублей от к1 до к2 банков. Найдите наивероятнейшее число к0 банков, имеющих уставной фонд свыше ста миллионов рублей, и вычислите соответствующую вероятность Р(к0).
| № | а | n | к1 | к2 | № | а | n | к1 | к2 | |
ЗАДАЧА 9 (№ 1–10)
Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда равна р. Найти вероятность того, что из n пассажиров опоздает к отправлению поезда: 1) к пассажиров; 2) не более к пассажиров.
(№ 11–20)
Прядильщица обслуживает n веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна р. Найдите вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет: 1) на к веретенах; 2) не белее, чем на к веретенах.
(№ 21–40)
Вероятность того, что зерно пшеницы не прорастет равна р. Какова вероятность того, что n из посеянных семян не дадут всходов: 1) ровно к семян; 2) не более к семян.
| № | р | n | к | № | р | n | к | |
| 0,001 | 0,02 | |||||||
| 0,002 | 0,02 | |||||||
| 0,003 | 0,02 | |||||||
| 0,004 | 0,02 | |||||||
| 0,005 | 0,02 | |||||||
| 0,006 | 0,02 | |||||||
| 0,007 | 0,008 | |||||||
| 0,008 | 0,006 | |||||||
| 0,009 | 0,004 | |||||||
| 0,01 | 0,002 |
| № | р | n | к | № | р | n | к | |
| 0,01 | 0,001 | |||||||
| 0,01 | 0,009 | |||||||
| 0,01 | 0,008 | |||||||
| 0,01 | 0,007 | |||||||
| 0,01 | 0,006 | |||||||
| 0,01 | 0,005 | |||||||
| 0,01 | 0,004 | |||||||
| 0,01 | 0,003 | |||||||
| 0,02 | 0,002 | |||||||
| 0,02 | 0,001 |
Решение типовых задач по теме «Случайные события»
Задача 1. Среди 15 студентов группы, из которых 8 девушек, разыгрывается 6 билетов. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки?
Решение. Испытание – разыгрывается 6 билетов среди группы студентов.
Событие 
– среди обладателей 6 билетов будут 4 девушки и 2 юноши.
Найти 
где m число благоприятствующих событию исходов данного испытания и n – число всех исходов данного испытания.
Число всех способов распределения 6 билетов среди 15 студентов равно числу сочетаний из 15 элементов по 6, т.е.
Число способов отбора четырех девушек из 8 равно 
. Каждая такая четверка может сочетаться с каждой парой из 7юношей: число таких пар равно 
. Значит,
.
Тогда искомая вероятность составляет: 
.
Ответ. Вероятность того, что среди обладателей билетов будет четыре девушки равна 0,2937.
Задача 2. Из ящика, содержащего 20 небракованных и 10 бракованных изделий, поочередно извлекается два изделия без возвращения. Какова вероятность при первом и втором извлечениях получить небракованные изделия?
Эту же задачу можно решить двумя способами.
Решение 1. Испытание – из ящика поочередно извлекаются 2 изделия.
Событие – извлекли два небракованных изделия. Переномеруем изделия, тогда отдельным исходом будет появление пары изделий из ящика, имеющих определенные номера.
Используем классическое определение вероятности:
.
Теперь подсчитаем общее число m благоприятных событию элементарных исходов, т.е. появление двух небракованных изделий. Всего небракованных изделий 20, значит
.
n – различные элементарные исходы, т.е. такие пары изделий, которые отличаются друг от друга хотя бы номером одного изделия. Тогда число всех исходов
.
Тогда
Решение 2. Для решения применим теорему умножения для зависимых событий. Событие А – взяли небракованое изделие при первом извлечении, событие В – взяли небракованое изделие при втором извлечении, событие С – взяли два небракованых изделия. Тогда сложное событие С, вероятность которого надо найти, выражается через А и В по формуле
.
Событие В зависит от события А, т.к. извлеченное изделие в ящик не возвращается. По теореме умножения вероятностей для зависимых событий будем иметь
.
Но 
и 
т.к. одно извлеченное изделие небракованное в ящик не возвращается. Следовательно,
.
Ответ. Вероятность извлечения из ящика двух небракованных изделий равна 0,4368, т.е. примерно 44%.
Задача 3. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45; во вторую – 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо в третью область.
Решение. Испытание – стрелок стреляет по мишени. Событие А – стрелок попал в первую область, событие В – стрелок попал в третью область, событие С – стрелок попал во вторую область; (А+В+С) – достоверное событие, так как А;В;С образуют полную группу событий
.
События А и В – несовместные, то есть попадание в одну область исключает попадание в другую область. Искомая вероятность
.
Ответ. Вероятность попадания стрелка в цель при одном выстреле или в первую, или в третью область равна 0,65, или 65%.
Задача 4. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих, 15 белых. Найти вероятность того, что вынутый наудачу шар будет цветной (не белый).
Задачу можно решить двумя способами.
Решение 1. Испытание – из урны вынимают один шар. Событие А – вынутый шар цветной, т.е. либо красный, либо синий. Событие В – вынутый шар красный. Событие С – вынутый шар синий. События В и С несовместны.
.
Решение 2. Используем классическое определение вероятности: 
Найдем 
число исходов, благоприятствующих событию А, и 
– общее число исходов данного испытания. Искомая вероятность равна
Ответ. Вероятность вынуть цветной шар из коробки равна 0,5, или 50%.
