Ясное представление о математической модели дисперсионного анализа облегчает понимание необходимых вычислительных операций, особенно при обработке данных многофакторных опытов, в которых больше источников варьирования, чем в простых, однофакторных опытах. Например, в двухфакторном опыте, поставленном методом обычных повторений, сумма квадратов для вариантов CV расчленяется на три, а в трехфакторном – на семь компонентов. Общая сумма квадратов для этих опытов будет представлена следующими выражениями (в скобках указаны суммы квадратов для изучаемых факторов A, В, С и их взаимодействия):
CY = (СА + СВ + САB) + СZ (15.1)
CY = (СА + СВ + СC + САB+ САC + СBC+ СABC) + СZ (15.2)
Соответственно указанным компонентам варьирования результативного признака разлагают и общее число степеней свободы.
Многофакторный дисперсионный комплекс – это совокупность исходных наблюдений, позволяющих статистически оценить действие и взаимодействие нескольких изучаемых факторов на изменчивость результативного признака. Эффект взаимодействия составляет ту часть общего варьирования, которая вызвана различным действием одного фактора при разных градациях другого. Специфическое действие сочетаний в эксперименте выявляется тогда, когда при одной градации первого фактора второй действует слабо или угнетающе, а при другой градации он проявляется сильно и стимулирует развитие результативного признака.
В эксперименте часто эффект от совместного применения изучаемых факторов больше (синергизм) или меньше (антагонизм) суммы эффектов от раздельного применения каждого из них. Следовательно, существует взаимодействие факторов: в первом случае положительное, а во втором – отрицательное. Когда факторы не взаимодействуют, прибавка от совместного применения их равна сумме прибавок от раздельного воздействия (аддитивизм).
Дисперсионный анализ данных многофакторного комплекса проводится в два этапа. Первый этап – разложение общей вариации результативного признака на варьирование вариантов и остаточное: CY = CV + CZ. На втором этапе сумма квадратов отклонения для вариантов разлагается на компоненты, соответствующие источникам варьирования – главные эффекты изучаемых факторов и их взаимодействия. В двухфакторном опыте:
CV = CA + СB + CAB, (15.3)
в трехфакторном:
CV = CA + СB + СC + CAB + CAC + CBC + CABC. (15.4)
Дисперсионный анализ двухфакторного анализа по изучению градаций фактора А (число вариантов lA) и градаций фактора В (число вариантов lB), проведенного в n повторностях, осуществляется в следующие этапы:
1 Определяются суммы и средние по вариантам, общая сумма и средний урожай по опыту.
2 Вычисляются общая сумма квадратов отклонений, сумма квадратов для вариантов и остатка:
N = lA × lB × n; (15.5)
; (15.6)
; (15.7)
; (15.8)
(15.9)
Для вычисления сумм квадратов по факторам А, В и взаимодействию АВ составляется вспомогательная таблица, в которую записываются суммы по вариантам. Суммируя цифры, находятся суммы А, суммы В и вычисляются суммы квадратов отклонений для главных эффектов и взаимодействия.
Сумма квадратов для фактора А:
(15.10)
при ( lА – 1 ) степенях свободы.
Сумма квадратов для фактора В:
(15.11)
при ( lВ – 1 ) степенях свободы.
Сумма квадратов для взаимодействия АВ находится по разности:
(15.12)
при (lА – 1)×(lВ – 1) степенях свободы.
Суммы квадратов записывают в таблицу дисперсионного анализа и определяют фактические значения критерия F (таблица 15.1).
Таблица 15.1 – Результаты двухфакторного дисперсионного анализа
| Вариация | Сумма квадра-тов | Число степеней свободы | Дисперсия | Критерий Фишера, Fфакт | Уровень значимос-ти, p | Критерий Фишера, Fтабл |
| Фактора А | ||||||
| Фактора В | ||||||
| Взаимодейст-вия | ||||||
| Случайная | ||||||
| Общая |
Преобразования
Правильное использование дисперсионного анализа для обработки экспериментального материала предполагает однородность дисперсий по вариантам (выборкам), нормальное или близкое к нему распределение варьирующих величин, значения которых получают независимо одно от другого. В исследованиях независимость сравнения достигается рендомизированным размещением вариантов в опыте и случайным отбором проб в выборку. Когда есть основания предполагать неоднородность дисперсий по выборкам, о чем обычно свидетельствуют большие различия в варьировании по вариантам, то рекомендуется преобразовать (трансформировать) исходные данные. Трансформация дает возможность уменьшить пределы варьирования, устранить неоднородность дисперсий по выборкам и провести сравнение результатов более точно.
Наиболее подходящие и чаще всего применяемые преобразования следующие:
- логарифмические, когда каждое значение X трансформируется в lgX или в ln (X – l), если некоторые наблюдения равны нулю;
- трансформация данных подсчета численности путем извлечения квадратного корня из X, т. е. 
или 
, когда некоторые наблюдения дают нулевые или очень небольшие значения.
Преобразованные значений обрабатываются по схеме дисперсионного анализа и после проведенных оценок переходят обратно к первоначальным единицам измерения. Средние, полученные в процессе преобразования, будут несколько отличаться от средних, полученных по исходным данным, но разница обычно не велика, и более правильным средним будет значение, полученное обратным переходом.
