Числовая характеристика случайного события, обладающая тем свойством, что для любой достаточно большой серии испытаний частота события лишь незначительно отличается от этой характеристики, называется вероятностью события.
Из этого рассмотрения устанавливаем, что вероятность является тем теоретическим пределом, к которому стремится частота событий при увеличении числа испытаний. Вероятность – идеальное выражение частоты событий.
Данное определение вероятности называется статистическим. Это определение не является достаточно строгим с точки зрения математики. По статистическому определению трудно изучать свойства вероятности.
Однако имеется и ряд положительных его свойств. Статистический подход позволяет находить вероятности событий, структура которых неизвестна. Например, только статистический подход позволил определить вероятность рождения мальчиков, равную 0,52 и девочек – 0,48.
Существуют два других, более удобных с формальной точки зрения, определения вероятности: классическое и геометрическое. Однако для них требуется знать структуру рассматриваемых событий.
Понятие о геометрическом определении вероятности можно получить из следующего примера испытаний.
Предположим, в некотором квадрате случайным образом выбирается точка. Какова вероятность, что она окажется в области D (рисунок 1.1).
Рисунок 1.1 – Иллюстрация понятия геометрической вероятности
Очевидно, что вероятность эта будет тем большей, чем больше область D. В качестве мерила вероятности выступает здесь площадь. Вероятность того, что случайная точка попадет в область D (осуществление события D) равна: p(D)= SD/S, где SD – площадь области D; S – площадь всего квадрата.
Геометрическое определение вероятности пригодно не только для плоскости, но и для прямой или пространства.
В первом случае основой для определения вероятности служит некоторый отрезок, а случайным событиям соответствуют его части. Вероятность вычисляется как отношение длины частей к общей длине отрезка. Во втором, случае основой к испытанию принимают некоторый куб, случайным событиям соответствуют различные тела, расположенные в кубе. Вероятность вычисляют как отношение объемов тел к объему куба.
Наибольший интерес представляет классическое определение вероятности. С этим определением связаны основные теоремы теории вероятностей.
Вероятность здесь определяется априори, до испытаний, исходя из определенной структуры случайных событий, т. е. из разбивки на равновозможные исходы.
Пусть при подбрасывании монеты появления герба или цифры будут изучаемыми событиями а и b. Причем, если при одном бросании произойдет событие а, то не произойдет другого события b. Такие события называют несовместными. Каждое из событий называют исходом испытания. В силу равновозможности исходов в нашем испытании вероятность каждого события равна. При единичном бросании кубика с 6 гранями (имеющими, например, 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков), вероятность появления любой одной грани p = 1/6.
Исходы испытания являются простейшими случайными событиями. Можно рассматривать более сложные события, объединяющие несколько исходов. Например, при бросании игрального кубика мы можем интересоваться таким событием, как выпадение числа очков больше 2. В таком случае говорят, что появлению события с выпадением больше двух очков, т. е. с 3, 4, 5 и 6 очками, благоприятствуют четыре исхода из шести. Вероятность этого события p = 4/6. Таким образом, мы подошли к классическому определению вероятности. Вероятностью случайного события называется отношение числа отходов, благоприятствующих событию, к числу всех возможных исходов.
