Выражения, переменные и формы 1 страница

В настоящей главе речь идёт о некоторых общих свойствах математических текстов. В них встречаются различные выражения, содержащие те или иные буквы (например, латинского или греческого алфавита), символы операций (например, рассмотренные в главе 2 знаки теоре-тико-множественных операций), знаки для интегралов, частных производных, и т.д. Все симво-лы, входящие в выражения, будем – в рамках данного материалы – называть для единообразия буквами (именно, буквами математического алфавита). Будем считать, что во все упоминаемые далее выражения входит конечное число букв. Заметим, что здесь нет требования конечности самого никак формально не определяемого «математического алфавита».

Пример 1. Рассмотрим следующие выражения:

1) x ² + y ² = 1, 2) , 3) , 4) , 4) Ø P ÙØ Q º Ø(P Ú Q), 5) x > 3.

В 1-ое из них входит 6 букв: x, y, 1, 2, +, = (буква 2 входит дважды); во 2-ое – входит 10 букв: l, i, m, n, →, ∞, (,), 1, +; в 3-ье – 6 букв: , x, d, 0, 1, 2; в 4-ое – 7 букв: P, Q, Ø, Ú, Ù, (,); наконец, в 5-ое выражение входит 3 буквы: x, >, 3 ■

Не пытаясь дать формального определения выражения, заметим лишь, что выражение − это написанная в каком-нибудь разумном, понятном порядке совокупность букв математичес-кого алфавита. Мы не будем никак уточнять смысл этого термина. Это потребует от нас, разу-меется, некоторой осторожности в обращении с ним. Мы не сможем, в частности, формулиро-вать (и, конечно, доказывать) никаких теорем о выражениях «вообще».

Далее (как и до сих пор, кроме примера 1) почти до конца данного раздела материал пред-ставляет собой почти точную цитату из уже упомянутой в самом начале монографии Ю.А. Шихановича. Поскольку в текст внесены небольшие изменения, кавычки опущены.

Перейдем к центральному понятию этого раздела − понятию переменной. Прежде всего, ещё до объяснения этого термина, заметим, что слово «переменная» у нас будет самостоятель-ным словом, существительным, а не прилагательным, определением к какому-нибудь другому существительному. Никаких терминов вроде «переменная величина» у нас не будет. Что же та-кое переменная? Поскольку ответ на этот вопрос будет иметь несколько непривычный, не стан-дартный характер (он не будет, в частности, иметь вид обычного математического определе-ния), мы будем подходить к нему постепенно. Прежде всего, переменная − это просто буква. Некоторые буквы в выражении называются переменными. Какие же буквы в выражении назы-ваются переменными? Те, вместо которых можно что-нибудь (например, числа, многочлены и т. д.) подставлять. Следующий вопрос: что значит «можно»? Предварительный ответ на этот вопрос такой: «можно» − это значит, что после подстановки выражение должно иметь смысл. Не пытаясь определить «смысл» в общем виде, ограничимся простым примером: выражение 1 ∕ x имеет смысл при x = 3 и не имеет смысла при x = 0. Далее, рассмотрим, например, выражение: а + х. Это выражение представляет собой слово из трех букв. Какие же буквы в этом выражении являются переменными? По-видимому, прежде всего можно назвать букву х. Ведь общеизвес-тно, что х − это переменная! Если вместо х подставлять числа, то выражение, полученное пос-ле подстановки, будет иметь смысл. Но если подставлять числа вместо буквы а, то выражение, по-видимому, тоже будет сохранять смысл? Значит, буква а тоже является переменной? А ес-ли, наконец, вместо буквы + подставить какой-нибудь из знаков −, ×,:,то выражение, очевид-но, тоже будет осмысленным. Значит, + тоже переменная? Какие же все-таки буквы в выраже-нии а + х являются переменными?

После всего этого предварительного разговора перейдем к окончательному ответу на воп-рос: что такое переменная? Впрочем, он тоже не уложится в одну фразу. Переменными в неко-тором данном выражении мы будем называть те буквы, которые... специальным указанием (вы-сказанным в момент задания выражения) будут объявлены таковыми. Таким образом, если это специально не указано, никакого ответа на вопрос «какие буквы являются переменными в вы-ражении а + х?» дать нельзя. Может показаться, что при таком понимании термина «перемен-ная» («собственно, ведь нет никакого понимания: какую букву хотим, такую назовём перемен-ной») никакой пользы от этого термина не будет. Это не так. Переменными мы будем обычно называть, объявлять в некотором рассматриваемом выражении такие буквы, вместо которых можно, вместо которых мы собираемся подставлять те или иные числа, выражения и т.п. Объ-являя букву переменной, мы тем самым привлекаем к ней внимание, предупреждаем, как мы собираемся использовать эту букву при дальнейшем обращении с рассматриваемым выражени-ем, разрешаем применять к этой букве (и ко всему выражению, содержащему эту букву) весь комплекс терминов и обозначений, который мы для понятия «переменная» введём. Объявляя букву переменной, полагается одновременно задавать область значений (область определе-ния) этой переменной. Опять-таки, содержательно под областью значений переменной понима-ется совокупность, из которой мы собираемся черпать значения переменной для подстановки их на место переменной. Областью значений данной переменной обычно объявляется такая со-вокупность, объекты которой естественно подставлять в рассматриваемое выражение вместо этой переменной. Разумеется, слово «естественно» употреблено в совершенно не формальном, интуитивном смысле. Тем не менее, понятно, что символы арифметических действий подстав-лять в выражение а + х вместо буквы + естественно, а тригонометрические функции неестест-венно. Однако формально областью значений данной переменной может быть объявлено лю-бое множество. Подчеркнём, что переменная считается полностью заданной (так сказать, конс-титуированной в качестве переменной) лишь тогда, когда ей приписана какая-нибудь область значений. Переменную, в область значений которой входят только числа, мы будем называть числовой переменной. При написании выражений в качестве букв, которые мы будем намере-ваться использовать как числовые переменные, мы будем обычно использовать наиболее при-вычные для этой цели последние буквы латинского алфавита. Переменная, значениями которой являются истинностные значения «истина» и «ложь», называется высказывательной.

Введём теперь центральные понятия данного раздела. Выражение, содержащее перемен-ные, мы будем называть формой; выражение, не содержащее переменных − константой. Из вышесказанного вытекает, что одно и то же выражение в одном случае, при одном своём упот-реблении может быть формой, в другом − константой. Форма называется s-местной, если она содержит s переменных. Формы могут быть одноместными, двухместными, трехместными и т.д. Если в выражении (ах + by) х объявить переменными буквы х и у, такая форма будет, разу-меется, двухместной, а не трехместной. Допустимыми значениями данной переменной отно-сительно данной одноместной формы называются те её значения (из области значений пере­менной), подстановка которых вместо переменной превращает форму в осмысленное выра-жение. Одноместная форма называется всюду определённой, если любое значение её перемен-ной является допустимым. Одноместная форма называется нигде не определённой, если ника-кое значение её переменной не является допустимым.

Прежде, чем приводить примеры форм, обратим внимание на следующее принципиаль-ное различие между рассмотренными в первых трёх главах понятиями высказывания, множес-тва и кортежа, и введёнными здесь понятиями переменной и формы. Те понятия были содержа-тельными, т.е. не определялись формально через другие введённые ранее понятия. Именно в этом смысле указанные понятия можно считать базовыми или начальными математическими понятиями. В то же время понятие переменной определяется через введённое ранее понятие множества (буква, которой сопоставлено некоторое множество, называемое областью значений данной переменной). Формой называется выражение, содержащее переменные (которые уже формально определены). Может показаться, что отсутствие точного определения выражения делает эти понятия «не совсем» формальными. Но это не так. Важно лишь то, что выражение содержит конечное число различных букв (символов), т.е. можно формально определить мно-жество его букв и, следовательно, формально объявить часть из них переменными. Если же пе-ременные не объявлены, то выражение названо константой. Дальнейшие действия – придание определённого смысла тому или иному выражению (или указанию на его бессмысленность) – определяются для конкретных выражений конкретным образом и никак сами по себе не влия-ют на формально определяемые понятия формы и переменной.

Пример 2. Выражение не имеет смысла, если рассматриваются только действитель-ные числа, и имеет вполне конкретное значение (комплексное число i), если рассматриваются комплексные числа. Таким образом, если имеющиеся в данном выражении три буквы не объ-являть переменными, то это выражение – по определению – будет константой, значение кото-рой может быть разным, в зависимости от контекста, в котором рассматривается данное выра-жение ■

Пример 3. Пусть в выражении 1 ∕ x переменной будет буква х с областью значений { , +, 3, 5, 0}. Допу­стимыми значениями переменной х в этом случае являются 3 и 5, поскольку вы-ражения 1 ∕ , 1 ∕ +, 1 ∕ 0 не имеют смысла. Форма не является ни всюду определенной, ни нигде не определенной, так как в множестве значений переменной есть как элементы, для которых фор-ма не определена, так и элементы, для которых форма определена. Переменная х не является числовой, потому что принимает значения , +, не являющиеся числовыми ■

s -местная форма называется всюду определенной, если при любых значениях своих пере-менных (из соответствующих областей значения) она имеет смысл. s -местная форма называет-ся нигде не определенной, если при любом наборе значений своих переменных она не имеет смысла.

Пример 4. Рассмотрим двухместную форму с числовыми переменными x и y, для каждой из которых областью значений является отрезок [0, 1]. Легко видеть, что допус-тимыми являются пары чисел á x, y ñ, такие, что x ² + y ² ≤ 1. Ясно, что данная форма не является ни всюду определенной, ни нигде не определенной ■

Пусть – форма, x, y, z – переменные. Запись (x, y, z) означает, что в форме нет никаких переменных, отличных от x, y, z. При этом не требуется, чтобы каждая из переменных x, y, z действительно присутствовала в (хотя бы одна из этих переменных должна, конечно, присут-ствовать, так как – форма). Таким образом, двухместную форму х (а + у) с переменными х и у можно обозначать как просто , так и (х, у), (х, у, z), (х, у, z, и), но не (х). Ра-зумеется, если сказано, что (х, у, z) – трехместная форма, то каждая из переменных х, у, z действительно присутствует в . Иногда вместо того, чтобы говорить, что – форма с пере­менными х, у, z, мы будем говорить, что зависит от х, у,z. Соответственно, « не зависит от х» означает, что буква х не является переменной в форме .

Пусть (х, у, z) – форма, объекты a, b и с принадлежат областям значений, соответст-венно, переменных х, у и z. Результат подстановки в форму объектов a, b и с вместо, соответ-ственно, переменных х, у и z мы будем обозначать через (а, b, с). Разумеется, обозначение (а, b, с) только тогда имеет однозначный смысл, когда сказано явно или ясно из контекста, вместо какой из переменных х, у, z какой из объектов а, b, с подставляется.

Пусть (х, у, z) –форма, объекты а, b, c принадлежат областям значений, соответствен-но, переменных х, у, z. Выражение (а, b, с) либо осмысленно, либо нет. Если (а, b, с) осмыс-ленно, это мы будем обозначать это так:! (а, b, с) и говорить в этом случае либо « (а, b, с) определено», либо «форма (х, у, z) определена при х = а, у = b, z = с».

Пусть и – две формы (быть может, от одних и тех же, быть может, от различных – полностью или частично – переменных). Если какая-то буква входит в обе рассматриваемые формы, то мы будем считать, что она обозначает в них одно и то же. В частности, если какая-то буква входит в обе формы и является переменной, то она имеет одинаковую (для обеих форм) область значений. При этом предположении назовем формы и равносильными, если при любом наборе значений всех переменных, входящих в обе эти формы, либо они обе не опреде-лены, либо обе определены и обозначают одно и то же (имеют одинаковое значение). Обозна-чать равносильность форм и мы будем символом : . Обозначать неравносиль-ность мы будем символом : . При тех же предположениях форму назовём равно-сильной константе А, если при любом наборе значений переменных формы она на этом на-боре означает то же, что и константа А. Короче: А. Назовем, наконец, константы А и В рав-носильными, если они обозначают одно и то же: А В.

Заметим, что для любых форм , и C верно следующее

Утверждение 1. а) ; б) если , то ; в) если и C, то C ■

Пример 5. Формы (x + 1)² и x ²+ 2 x + 1 равносильны. Конечно, формально требуется в каждой из них определить переменные и их области значений. Переменной в обеих формах считаем букву x; областью значений является множество всех действительных чисел, т.е. пере-менные являются числовыми ■

Далее областью значений числовой переменной будет считаться (если противное не ого-ворено) множество всех действительных чисел (числовая прямая)

Пример 6. Формы Ø P ÙØ Q и Ø(P Ú Q) равносильны. Формально в каждой из них перемен-ными объявлены буквы P и Q; множеством значений во всех случаях является множество ис-тинностных значений { T, F }. Данная равносильность обычно называется законом де Моргана ■

Пример 7. Форма cos² x + sin² x c одной переменной x равносильна константе 1 (с учётом соглашения, следующего сразу после примера 5) ■

Пример 8. Форма x ² ≥ 0 с одной числовой переменной x с произвольной числовой областью значений при любом x является истинным высказыванием. Поэтому данная форма равносильна константе T. Аналогично, форма x ²< 0 равносильна константе F ■

Пример 9. Две формы: cos(x + y) и cos x cos y – sin x sin y равносильны как две формы от числовых переменных x и y ■

Пример 10. Одна форма: cos(x + y) = cos x cos y – sin x sin y от числовых переменных x и y равносильна логической константе T ■

Пример 11. Определим форму следующим образом. Положим

F (p) =

Объявим переменной букву p с областью значений { T, F }. При этом буквы 0 и 1 предполагают-ся числовыми константами ■

Важнейшими классами форм являются класс числовых форм и класс высказывательных форм. Форма называется числовой, если при любом наборе значений своих переменных, на ко-тором она определена, она обозначает число (является числом). Форма называется высказыва-тельной, если при любом наборе значений своих переменных, на котором она определена, она обозначает высказывание (является высказыванием).

Не следует путать понятия числовой переменной и числовой формы, высказывательной переменной и высказывательной формы. В примерах 8 и 10 переменные являются числовыми, форма же является высказывательной. В примере 11, наоборот переменная является высказы-вательной, а форма является числовой. В примере 6 как переменные, так и форма являются вы-сказывательными. Наконец, в примерах 7 и 9 как переменные, так и форма являются числовы-ми.

Для обозначения равносильности числовых форм, наряду с общим знаком используется также обычный знак равенства =. Для обозначения равносильности высказывательных форм используется также знак º (см. далее формулы (5-2) – (5-7), где этот же знак используется для обозначения равносильности булевых функций – частного случая высказывательных форм).

1.1. Формы и функции. В «обычной» математике понятие переменной было тесно связа-но с понятием функции. Символом f (x) обозначалась функция f от одной переменной x. Столь же общепринятым является обозначение f (x ₁, …, x _n) для функции от нескольких переменных.

В аннотации к части 1 подчёркивалось, что введённые формальные понятия – кортежа, графика и др. – являются обобщениями хорошо известных понятий – вектора, графика и др. из обычной школьной математики. В этом же ряду понятие формы является более точным описа-нием расплывчатого понятия «выражение». Естественно, что традиционное представление о функции, её значениях и переменных являются частными случаями введённых понятий. Само понятие функции введено в разделе 3.5 как частный случай соответствия. Термины «выраже-ние», «форма» и «переменная» при этом не использовались. Введённое в настоящем разделе понятие переменной относится к формам, а не к функциям.

В настоящем разделе мы установим точное соответствие между некоторыми видами форм и ранее формально определёнными функциями. Именно такое соответствие и позволит «сов-местить» эти понятия и прийти к формальному определению функции с переменными, являю-щемуся обобщением соответствующего интуитивного понятия.

Пусть – n -местная форма с переменными x ₁, …, x _n. Напомним, что вместе с переменны-ми задаются множества А ₁, …, А _n, которым принадлежат все значения соответствующих пере-менных. Допустимыми были названы такие наборы значений переменных x ₁, …, x _n, при кото-рых данная форма имеет смысл. Не будем пытаться как-то определить «смысл» в общем виде. Заметим только, что в примерах 1 – 11 под «смыслом» формы всегда можно было понимать либо число, либо одно из двух значений истинности, т.е. все рассмотренные в этих примерах формы были числовыми или высказывательными (см. определение сразу после примера 11). Сделаем ещё один шаг в сторону обобщения. Пусть смыслом формы (x ₁, …, x _n) при любых допустимых наборах её переменных являются элементы из некоторого множества B, однознач-но определяемые по наборам значений x ₁, …, x _n. Такие формы будем называть функциональ-ными, а множество B будем называть множеством прибытия этой функциональной формы.

Смысл этих названий оправдывается следующими рассуждениями. Пусть (x ₁, …, x _n) – n -местная функциональная форма с переменными x ₁, …, x _n из множеств А ₁, …, А _n и множеством прибытия B. Очевидным образом такая форма определяет функциональное соответствие в смысле определения из раздела 3-5. Действительно, положим A = , определим G A × B как множество пар вида áá x ₁, x ₂,..., x_n ñ, b ñ, где при значениях переменных x ₁, x ₂,..., x_n форма (x ₁, …, x _n) имеет смысл b. Тем самым определено соответствие Γ = á G, A, B ñ, функциональ-ность которого очевидна, поскольку «смысл» в виде элемента b определяется по условию однозначно. Используя более привычную запись Γ (x ₁, x ₂,..., x_n) = b вместо записи áá x ₁, x ₂,..., x_n ñ, b ñÎ G, приходим к следующему выводу. Каждая n -местная функциональная форма (x ₁, …, x _n) естественно определяет функцию

y = f (x ₁, …, x _n), (1)

переменные которой принадлежат соответственно множествам А ₁, …, А _n, а значение y – множеству B. Важно то, что для таким образом определённых функций можно одновременно пользоваться как комплексом всех понятий, относящихся к соответствиям, так и комлексом всех понятий, относящихся к формам.

Если для любых двух значений и из множества А_i и для любых значений остальных переменных x ₁, …, x_{i –1}, x_{i +1}, …, x_n выполняется равенство

f (x ₁, …, , …, x _n) = f (x ₁, …, , …, x _n), (2)

то функция f (x ₁, …, x _n) на самом деле не зависит от переменной x_i. Такие переменные называ-ются несущественными или фиктивными.

Основными рассматриваемыми далее случаями являются:

1) булевы функции от n переменных, в которых А_i = {0, 1} (i = 1, …, n), область прибытия B также равна {0, 1};

2) обычные числовые функции от n переменных, в которых А_i = R (i = 1, …, n), область прибытия B также равна R (через R здесь обозначено множество вещественных чисел).