Диаграммы Венна и операции над множествами

В большинстве разделов математики понимание сущест-венно облегчается при помощи разнообразных рисунков и диаг-рамм. В рассуждениях о множествах часто используются диаг-раммы Венна, предложенные английским логиком Джоном Венном (1834-1923). В этих диаграммах универсальное множес-тво представлено прямоугольником, а другие рассматриваемые множества - обычно овалами или кружками (размер и форма фигур не имеют значения). Типичный пример диаграммы Венна показан на рис.1. На нём вся область, ограниченная прямоуголь-ником, представляет универсальное множество U, а два овала представляют два множества A и B. Диаграммы Венна дают наг-

Рис.1. Диаграмма Венна

лядное представление об операциях над множествами, рассматриваемыми в разделе 2.1.

2.1. Операции над множествами. Если мы располагаем некоторым запасом множеств, то из них мы можем строить новые множества при помощи так называемых теоретико-множественных операций. Рассмотрим подробно основные из этих операции.

A. Дополнение. Пусть U - универсальное множество, A - некоторое множество (напомним ещё раз, что в рамках любой конкретной ситуации каждое множество содержится в универ-сальном для данной ситуации множестве U, т.е. A Í U). Множес-тво, состоящее из всех элементов U, не содержащихся в A, на-зывают дополнениемA и обозначают через A'. Более формаль-но: х Î A' х Ï A. Диаграмма Венна на рис.2 иллюстрирует опе-рацию дополнения. B. Объединение.Множество, элементами которого явля-ются элементы множеств A и B и только они, называют их объе-динением и обозначают знакосочетанием A B. Очевидно: (х Î A B) (х Î A)Ú(х Î B). Объединением семейства множеств { Ai } i Î I называют множество, обозначаемое знакосочетанием i Î I Ai и состоящее из тех и только тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному множеству этого семейства. Ди-аграмма Венна на рис.3 иллюстрирует операцию объединения.	Рис.2. Дополнение
Рис.3. Объединение
C. Пересечение. Множество, элементами которого явля-ются элементы, принадлежащие как множеству A, так и мно-жеству B, называют их пересечением и обозначают знакосоче-танием A ∩ B. Очевидно: (х Î A B) (х Î A)Ù(х Î B). Пересечением семейства множеств { Ai } i Î I называют множество, обозначаемое знакосочетанием i Î IAi и состоящее из тех и только тех элемен-тов, каждый из которых принадлежит всем множествам этого семейства. Диаграмма Венна на рис.4 иллюстрирует операцию пересечения. D. Разность. Множество, элементами которого являются элементы множества A, не принадлежащие множеству B, назы-вают их разностью и обозначают знакосочетанием A B (саму операцию называют вычитанием множеств). Очевидно: (х Î A B) (х Î A)Ù(х Ï B). Если, в частности, B Í A, то разность A B на-зывают дополнением множества B до множества A и обозна-чают через (B') A, или просто B', если ясно, о чём идет речь. Ди-аграмма Венна на рис.4 иллюстрирует операцию вычитания и её результат.. E. Симметрическая разность.Множество, элементами которого служат элементы множества A, не принадлежащие множеству B, и элементы множества B, не принадлежащие мно-жеству A, называют их симметрической разностью и обозна-чают знакосочетанием A Δ B. Очевидно: (х Î A B) ((х Î A)Ù(х Ï B)) . По определению, A Δ B = (A B) (B A). Диаг-рамма Венна на рис.6 иллюстрирует симметрическую разность.	Рис.4. Пересечение
Рис.5. Разность
Рис.6. Симметрическая разность