Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d?

Решение. Прямые a и b лежат в одной плоскости и поэтому любая прямая, пересекающая каждую из них, лежит в той же плоскости. Следовательно, если бы каждая из прямых a, b пересекала обе прямые c и d, то прямые c и d лежали бы в одной плоскости с прямыми a и b, а этого быть не может, так как прямые c и d скрещиваются.

Пример 2. Доказать, что углы с соответственно параллельными сторонами или равны между собой, или в сумме составляют два прямых угла.

Решение. На сторонах углов DАЕ и D₁А₁Е₁ отложим АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁. Точки А и А₁, В и В₁, С и С₁ соединим отрезками АА₁, ВВ₁ и СС₁ (рис. 9).

 

 

Рисунок 9

 

Четырехугольник АВВ₁А₁ - параллелограмм, так как у него стороны АВ и А₁В₁ равны и параллельны. То же самое можно сказать и о четырехугольнике АСС₁А₁. Из сказанного следует, что ВВ₁ равно и параллельно АА₁, а АА₁ равно и параллельно СС₁, откуда ВВ₁ и СС ₁ равны и параллельны, следовательно, ВСС₁В₁ - параллелограмм, поэтому ВС = В₁С₁.

Рассмотрим АBС и А₁В₁С₁. Они равны по трем соответственно равным сторонам. Отсюда следует, что и . Далее, как сумма смежных углов. Заменяя на равным ему получим .

Задания к практической работе

Задание 1. Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями двух соседних граней куба с ребром а.

Задание 2. Концы данного отрезка длиной 50 см отстоят от плоскости на 30 и 44 см. Найдите проекцию этого отрезка на плоскость.

Задание 3. Отрезок пересекает плоскость, концы его отстоят от плоскости на 3 и 12 см. Найдите расстояние середины этого отрезка от плоскости.

Задание 4. Дано . Проведите через прямую a плоскость, параллельную прямой b.

Задание 5. Проведите через данную точку отрезок так, чтобы его проекция на данную плоскость была равна длине отрезка.

Задание 6. В тетраэдре SABC проведите сечение через середину ребра AC параллельно ребрам AB и CS.

Задание 7. Две прямые, проведенные из точки S, пересекают три параллельные плоскости соответственно в точках и . Известно, что A₁A₂ =4 см, B₂B₃ =9 см, A₂A₃ = B₁B₂. Вычислите A₁A₃ и B₁B₃.

Задание 8. В тетраэдре SABC проведены сечения A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂, плоскости которых параллельны грани ABC. Известно, что SB₁ = A₁A₂ =6 см, C₁C₂ =12 см, SA₁ =4 см. Вычислите SA, SB, SC.

Контрольные вопросы

1. Какие прямые называются скрещивающимися?

2. Назовите признак параллельности прямой и плоскостей.

3. Назовите признак параллельности двух плоскостей.

4. Что называют углом между двумя плоскостями?

Рекомендуемая литература: 1.2, 2.2

Практическая работа №46

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

Цель: формирование навыков доказательства перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве, используя основные аксиомы и теоремы стереометрии

Вид работы: индивидуальный

Время выполнения: 6 часов

Теоретический материал

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через точку пересечения данной прямой и плоскости.

Рисунок 10

На рисунке 10 изображена прямая а, перпендикулярная плоскости .

Теорема 9. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения, то она перпендикулярна плоскости.

В следующих двух теоремах говорится о взаимосвязи параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей.

Теорема 10. Если плоскость перпендикулярна одной из двух па­раллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Теорема 11. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Рисунок 11

На рисунке 11 изображены такие прямые a и b и плоскость , о которых говорится в теоремах 10 и 11.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 12).

Рисунок 12

Перпендикуляр и наклонная к плоскости

Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и не являющийся перпендикуляром к этой плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки называется проекцией наклонной.

Так как расстояния от точек прямой до параллельной ей плоскости одинаковы, то расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называется расстояние от любой ее точки до этой плоскости.

Теорема 12. Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной (теорема о трех перпендикулярах).

На рисунке 13 к плоскости проведены перпендикуляр АВ и наклонная АС. Прямая а, лежащая в плоскости а перпендикулярна ВС - проекции наклонной АС на плоскость . По теореме 12 прямая а перпендикулярна наклонной АС. Если было бы известно, что прямая а перпендикулярна наклонной AC, то по теореме 12 она была бы перпендикулярна и ее проекции – ВС.

Рисунок 13

Перпендикулярность плоскостей

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если какая-либо плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плос­костей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

На рисунке 14 изображены две плоскости и , которые пересекаются по прямой а. Плоскость перпендикулярна прямой а и пересекает и . При этом плоскость пересекает плоскость по прямой с, а плоскость - по прямой d, причем , т. е. по определению ,

 

 

Рисунок 14

 

Теорема 13. Если плоскость проходит через прямую, перпенди­кулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны (признак перпендикулярности плоскостей).

Теорема 14. Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости.

Упражнения с решениями

Пример. Катеты прямоугольного треугольника АBС равны 15 и 20 м. Из вершины прямого угла С проведен к плоскости этого треугольника перпендикуляр СD = 35 м (рис 15). Найти расстояние от точки О до гипотенузы АВ.

 

Рисунок 15

 

Решение. Проведем . По условию - перпендикуляр к плоскости, т.е. - наклонная, - ее проекция, поэтому по теореме о трех перпендикулярах из условия следует, что .

Из АВС находим , т.е. АВ= 25 м. Для отыскания высоты СЕ в АВС находим .

С другой стороны, откуда , т. е. СЕ = 12 м.

Из по теореме Пифагора

, т.е. DE=37 м.