Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Цель: формирование навыков доказательства параллельности прямых и плоскостей в пространстве, используя основные аксиомы и теоремы стереометрии

Вид работы: индивидуальный

Время выполнения: 6 часов

Теоретический материал

Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пресекающимися параллельными им прямыми.

Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

Параллельность прямой и плоскости

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются, т.е. не имеют общих точек. Если прямая a параллельная плоскости, то пишут:.

Теорема 4. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости (признак параллельности прямой и плоскости).

Параллельные плоскости

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Теорема 5. Две плоскости параллельны, если одна из них параллельна двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости (признак параллельности двух плоскостей).

 

Рисунок 5

 

На рисунке 5 плоскость параллельна пересекающимся прямым а и b, лежащим в плоскости , тогда по теореме 5 эти плоскости параллельны.

Теорема 6. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Теорема 7. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

Рисунок 6

На рисунке 6 изображены две параллельные плоскости и , а плоскость их пересекает по прямым а и b. Тогда по теореме 7 можно утверждать, что прямые а и b параллельны.

Теорема 8. Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны.

По теореме 8 отрезки АВ и СD, изображенные на рисунке 7, равны, так как и .

 

Рисунок 7

 

Пусть данные плоскости пересекаются. Проведем плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол между этими прямыми называется углом между данными плоскостями (рис. 8). Определяемый так угол между плоскостями не зависит от выбора секущей плоскости.

Градусная мера угла между параллельными плоскостями считается равной нулю.

 

 

Рисунок 8

 

Упражнения с решениями