Основні характеристики та методи побудови математичних моделей компонентів та об’єктів РЕА

Моделювання – абстрагування від конкретного об’єкта та заміна його або фізичним аналогом, або математичним описом поведінки. Метод схеми заміщення – заміна елементів РЕА еквівалентними схемами (складні процеси та паразитні ефекти моделюються опорами (R), ємностями (С), індуктивностями (L), джерелами струму (І₀) та напруги (U₀)). Кінцева мета математичного моделювання РЕП – визначення струмів та напруг в усіх точках схеми протягом усього часу (після розв’язку складеної системи рівнянь).

Аналіз РЕП здійснюється в статичних та динамічних моделях.

3.1. Моделювання пасивних елементів

3.1.1. Опір. , – математичні моделі R=R(T,U,I)

3.1.2. Джерела струму та напруги.

 

R_внутр→∞ R_внутр→0

 

Схеми заміщення джерела струму (I₀) та напруги (U₀).

 

Групи джерел: 1. Незалежні; 2. Залежні; 3. Керовані.

3.1.3. Ємність.

, q=C·U. Частотна область:

(2)

– математична модель. Часова область: (3) – для математичного опису одержимо диференціальне рівняння.

 

 

Машинний метод:

(4) – різницеве співвідношення

, (відома величина з розрахунків на попередніх трьох кроках, оскільки задається як початкова умова). Тоді (5) – одержали різницеву модель ємності у вигляді схеми заміщення.

 

 

Uk

 

Рис.3. Схема заміщення ємності.

 

3.1.4. Індуктивність.

, . Частотна область:

. (6)

– математична модель. Часова область:

(7) – математична модель у диференціальній формі.

Машинний метод:

(8)

– задається, тому І_к-1 – відома величина з попередніх розрахунків. – провідність. Тоді при

(9)– різницева модель індуктивності.

 

 

Рис.4. Схема заміщення індуктивності.

3.1.5. Напівпровідниковий діод.

(10)

 

Інерційність процесів в р - п - переході визначається накопиченням неосновних носіїв:

– змінна складова струму через р - п - перехід.

Q – сумарна зміна заряду неосновних носіїв в р - п - переході.

τ – ефективний час життя неосновних носіїв. Тоді

 

 

 

 

,

де ,

r – диференційний опір р - п - переходу, який можна визначити з вольт-амперної характеристики:

,

тоді – дифузійна ємність. (11)

Вводиться – бар’єрна ємність. (12)

Зважатимемо ще на два фактори: 1) частина напруги U_g падає на об’ємних опорах р - п - переходу, причому r_n-обл.» r_р-обл і r_n-обл ≡ r_бази , а r_р-обл=0; при оберненому зміщенні треба враховувати струм через опір поверхневого витоку R_вит.; r_б і R_в вважаються лінійними.

 

 

 

Рис. 5. Схема заміщення напівпровідникового діода.

 

Математична модель діода – єдине диференціальне співвідношення із змінними І_g та U_g. У статичній моделі С_g=C_б=0.

3.2. Моделювання активних елементів

Способи моделювання транзисторів: 1. Пасивні двополюсники та керуючі джерела; 2. Багатополюсники.

Групи моделей транзисторів: 1. Нелінійні статичні; 2. Нелінійні динамічні; 3. Лінійні низькочастотні; 4. Лінійні високочастотні.

Види підходів до моделювання: 1. Формальне зображення у вигляді “чорного ящика”; 2. Побудова моделей на основі опису фізичних процесів в активному елементі.

 

 

 

(13)

 

 

Рис. 6. Нелінійна статична модель (Еберса Мола).

, – струм емітерного та колекторного переходів (описуються вольт-амперними характеристиками).

α_N, α_I – коефіцієнти прямої та оберненої передачі струму (за схемою з спільною базою). Отже (13) – статичні ВАХ, на основі яких можна побудувати математичну модель.

 

 

 

 

Рис. 7. Нелінійна динамічна модель (Еберса-Мола).

 

R_е , R_к , R_б враховує опори відповідних областей, а С_е ,С_к моделює динамічні процеси, причому

Моделі Еберса-Мола широко застосовуються (точність – 10-15%).

 

Рис. 8. Лінійна низькочастотна модель (формальне зображення)

 

(14)

 

Це схема заміщення зі спільним емітером.

Коефіцієнти h_ік мають конкретний фізичний зміст (вхідний опір, вихідна провідність і т.д.) та знаходяться з диференціювання відповідних рівнянь за певних умов.

 

 

 

 

 

Рис. 9. Т-подібна лінійна високочастотна модель.

 

β визначає крутизну вихідного генератора струму

.

С_е ,С_к – моделюють інерційність транзистора, причому

 

 

Використовується наступне наближення:

, де U_e0, i_e0 – статичні напруга та струм, відносно яких змінюється високочастотний сигнал.

3.3. Моделювання радіоелектронних пристроїв

Види математичних моделей РЕП: 1. Загальна схема заміщення; 2. Загальна система рівнянь для всієї схеми.

Порядок складання схеми заміщення:

1. Вибір рівнянь для опису схеми. “Первинні” внутрішні параметри – площа p-n - переходу, N_A,N_ф, ширина бази, μ_u , μ_р і т.д. (для підприємств, які працюють із пристроями в інтегральному виконанні). Вторинні внутрішні параметри – вхідний та вихідний опори, коефіцієнти підсилення, крутизна ВАХ і т.д. (для підприємств, які працюють із окремими елементами).

Отже, вибір рівнянь та коефіцієнтів залежить від типу промислового підприємства.

2. Вибір схеми заміщення для нелінійного елемента.

– джерело струму, – джерело напруги, – нелінійна провідність і.т. д.

Вибирається та схема заміщення, яка найбільше узгоджується з системою зовнішніх параметрів і дає однозначну залежність між струмом і напругою елемента.

3. Вибір системи зовнішніх параметрів.

Незалежні змінні схеми – зовнішні параметри елементів (відносно них складаються рівняння схеми).

Компонентні рівняння – описують залежності між параметрами окремих елементів (, і т.д.).

Топологічні рівняння – залежать від топології з’єднань і описують залежності між окремими елементами (складаються на основі законів Кірхгофа)

Нехай схема має “В” віток, “Y” – вузлів та “К” контурів. Усього “2·В” невідомих, отже система має мати “2·В” рівнянь, причому “В” компонентних, “В” топологічних (“Y-1” – за І законом К., “В-(Y-1)”– за другим законом К.).

Загальна математична модель має вигляд:

Системи незалежних змінних треба вибирати так, щоб кількість рівнянь була мінімальною. Перший крок – підстановка компонентних рівнянь у топологічні (тобто виключення струмів або напруг).

Одержуємо метод рівнянь К. для струмів:

(15)

або метод рівнянь К. для напруг:

(16)

“В” напруг, або “В” струмів після розв’язку систем (15) або (16) визначаються з відповідних компонентних рівнянь. Другий крок – вибір таких топологічних змінних, які перетворюють ряд рівнянь у тотожності. Це вузлові потенціали та контурні струми.

 

=0

0=0 – одержали тотожність.

 

Отже, при виборі вузлових потенціалів з системи (16) залишиться (Y-1) рівняння відносно вузлових потенціалів φ:

0=0 – одержали тотожність

 

 

Отже, вибравши як незалежні змінні контурні струми із системи (15) залишається В-(Y-1) рівняння відносно контурних струмів j: .

Для зменшення кількості рівнянь зрозуміло, що при (Y-1)<B-(Y-1) застосовуємо метод вузлових потенціалів, при В-(Y-1)<(Y-1) – метод контурних струмів.

4. Складання математичної моделі схеми.

 

Нумеруємо всі вузли схеми. Нумеруємо всі напруги та струми. Вибираємо опорний вузол (вузол відліку). Потенціал його звичайно вважається нульовим, φ=0. Знаходимо ψ₁(і₂) та ψ₂(і₅) – обернені залежності до f ₁(U₂) та f ₂(U₅). Вибираємо напрями струму в усіх вітках і вважаємо, що струм тече від більшого потенціалу до меншого. Тепер можна складати математичну модель схеми.

Запишемо системи компонентних і топологічних рівнянь.

 

За методом рівнянь для напруг одержимо:

За методом рівнянь для струмів одержимо:

Вибравши як незалежні змінні вузлові потенціали отримаємо:

 

Метод контурних струмів дає наступну систему:

Топологічні рівняння схеми повинні бути лінійно незалежними – тоді розв’язок математичної моделі буде єдиним (тому маємо (Y-1) рівняння за І законом К. і В-(Y-1) – за ІІ законом К.)

3.4. Основні топологічні співвідношення

 

а) б) в)

 

 

Рис.10. Схема (а), граф (б), її дерево графа (в).

 

Граф – сукупність відрізків довільної форми й довжини, які називаються вітками, і точок їх перетину, які називаються вершинами. Контур – довільний замкнутий шлях у графі, який не проходить двічі по одних вітках. Підграф – довільна сукупність віток і вершин графа. Дерево графа – підграф, який має всі вершини графа, але не має жодного контуру. Ребро – вітка, яка належить до дерева графа. Хорда – вітка, яка не належить до дерева графа. Доповнення дерева графа – вся сукупність хорд. Головний контур – контур, який утворюється при підключенні хорди до дерева.

Якщо у схемі “В” – віток, “Y” – вузлів, то дерево графа має (Y-1) – ребро. Кількість хорд тоді В-(Y-1) (стільки ж головних контурів).

3.4.1. Топологічні матриці інциденцій та вузлів

Топологічна матиця схеми – запис інформації про з’єднання елементів у схемі в матричній формі (див. рис. 10)

 

 

Рядки матриці – вузли, графа, стовпці – вітки, причому елементи матриці:

+1 – вітка входить у вузол; -1 – вітка виходить; 0 – вітка та вузол не з’єднані. Одержана матриця називається матрицею інциденцій (з’єднань), або структурною.

Матриця вузлів містить “В” стовпців та (Y-1) рядків (рядок опорного вузла викреслюємо, тоді одержиться незалежна система рівнянь). З допомогою матриці вузлів можна записати:

 

- І закон К., - ІІ закон К.