Метод дисперсионного анализа. В парном регрессионном анализе мы пытаемся объяснить поведение Y путем определения регресс

В парном регрессионном анализе мы пытаемся объяснить поведение Y путем определения регресс. Зависимости Y от фактора X

Замечание В матем. статистике диспр. анализ рассматривается как самостоятельный метод стат. анализа. Мы его будем применять как вспомогательное средство для изучения кач-ва регрессионной модели

Согласно основной идее дисп. анализа общую сумму квадратов отклонений(я) переменной Y от среднего значения Y можно разложить на 2 части 1)Объясняемую 2) Необъясняемую

1)

 

 

-общая сумма откл-й TSS

 

-обьясненная(регрессионная) сумма кв-тов ESS

 

-необьясненная(остаточная) сумма квадратов RSS

 

Общая ∑ квадратов отклонений значений результир. показателя (y₁) от среднего значения (y) вызвано множеством причин. Условно разложим всю совокупность на 2 группы: 1)влияние изучаемого фактора X 2) влияние прочих факторов

Если фактор X не влияет на Y то линия регрессии Ox//( = ), тогда вся дисперсия результир. показателя обусловлена воздействием прочих факторов: TSS=RSS

Если же прочие факторы не влияют на результат, то Y связан с X функционально и остаточная сумма отклонений отсутствует: TSS=ESS

Пригодность линии регрессии для прогноза зависит от того, какая часть общего отклонения Y приходится на объясненную часть, если ESS> RSS, то уравнение регрессии явл. СТАТ. ЗНАЧИМЫМ и фактор X оказывает существенное влияние на результативный показатель Y.

Любая сумма квадратов отклонений связанна с числом степеней свободы.Число степеней свободы f зависит от объема выборки n и от определенных в этой выборке параметров k.

Для линейной модели k=2, т.к. y=a+bx

Можно показать, что для общей TSS число степеней свободы f₁=n-1, для объяснимой ESS f₂=k-1, для необъяснимой f₃=n-k. k-число параметров

TSS=ESS+RSS (4.1) (n-1)=(k-1)(n-k)

Разделив почл-о каждое слагаемое равенства (4.1) на соответс. степень свободы получим средний квадрат отклонений или дисперсию на 1 степень свободы

S²_TSS=

S²_ESS=

S²_RSS= или S²= (для лин. регр. модели)

Определение дисперсии

На 1 степень свободы приводит их к сравнимому виду и это используется в дальнейшем для проверки ЗНАЧИМОСТИ ФАКТОРА X НА РЕЗУЛЬТИРУЮЩИЙ П-ЛЬ.

Для этого определяют

 

 

Замеч-е: в эконометр. исследованиях проверку осущ. при 5% и 1% уровне значимости,

Если H₀ отклоняется при 1% уровне значимости, то она автомат. отклоняется и при 5%

Если H₀ принимается при 5% уровне значимости, то она автомат. приминется и при 1%

Если при 5% уровне гипотеза отклоняется а при 1% уровне принимается, то результаты проверки проводятся про обоих уровнях значимости

 

15. Нелинейная регрессия. Подбор линеаризующего преобразования.

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношений, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций: например, равносторонней гиперболы параболы второй степени

 

Различают два класса нелинейных регрессий:

1) регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

Примеры: полиномы разных степеней:

равносторонней гиперболы

 

2) регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Примеры: степенная

показательная

экспоненциальная

 

Для первой группы функций

1. В параболе второй степени

заменив

получим двухфакторное уравнение линейной регрессии:

для оценки параметров которого используется МНК.

2. Нелинейность переменной устраняется путем замены переменной.

 

 

Вторую группу функций можно разбить на нелинейные модели:

Внутренне линейные

- внутренне нелинейные.

Нелинейность по параметру для внутренне линейных функций часто устраняется путем логарифмирования уравнения.

А) степенная функция (4.3)

 

 

Б) показательная функция: (4.4)

 

 

В эконометрике степенная функция (4.3.) применяется при моделировании кривых спроса, показательная функция (4.4.) - при моделировании временных трендов.

Если в модели (4.3.) заменить действие, то модель

становится внутренне нелинейной, так её невозможно преобразовать в линейный вид. В этом случае используются итеративные методы, успешность которых зависит от вида функции и особенности самих методов.

 

16. Корреляция для нелинейной регрессии.

Уравнение нелинейной регрессии также как и в линейной зависимости дополняется показателями корреляции, называемым индексом корреляции.

Индекс корреляции (R):

 

 

где - остаточная дисперсия, определяемая из уравнения регрессии

- общая дисперсия результативного признака y.

 

Величина данного показателя находится в границах:

чем ближе к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно найденное уравнение регрессии.