Основні положення системного аналізу

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ В

СИСТЕМНОМУ АНАЛІЗІ. ПРИКЛАДИ ТА

ЗАВДАННЯ

Затверджено Вченою радою Вінницького державного технічного університету як навчальний посібник для студентів будівельних спеціальностей. Протокол № 5 від 29 грудня 2008 р.

Вінниця ВНТУ 2009

УДК 518

Р 95

Рецензенти:

С. Й. Ткаченко, доктор технічних наук, професор

В. Ф. Анісімов, доктор технічних наук, професор

В. І. Савуляк, доктор технічних наук, професор

Рекомендовано до видання Ученою радою Вінницького національного технічного університету Міністерства освіти і науки України

Р 95 Риндюк В. І., Коц І. В., Приятельчук В. О. Математичне моделювання в системному аналізі. Приклади та завдання: Навчальний посібник. – Вінниця: ВНТУ, 2009. – 102 с.

Навчальний посібник присвячений висвітленню основних положень системного аналізу, а саме: понять системи, процедур та постулатів математичного моделювання і програмування. Мета його сприяти закріпленню теоретичного матеріалу із основ системного аналізу, широкому впровадженню математичного моделювання у технологію будівельного виробництва та розробку, спорудження і експлуатацію систем теплогазопостачання і вентиляції.

Навчальний посібник призначений для студентів напряму підготовки "Будівництво".

УДК 518

ЗМІСТ

Вступ…………………………………………………………………………...
1 Основні положення системного аналізу…………………………………...
1.1 Поняття і процедура моделювання………………………………..
1.2 Постулати моделювання…………………………………………...
2 Елементи матричної алгебри ….…………………………………………...
2.1 Обчислення оберненої матриці …………………………………...
2.2 Використання оберненої матриці…………………………………
2.3 Знаходження власних чисел і власних векторів матриць...……...
2.4 Критерій від’ємності дійсних частин коренів полінома Р (λ)……
3 Метод градієнтного спуску…………………………………………………
4 Лінійне програмування…………………………………………………......
4.1 Метод північно-західного кута……………………………………
4.2 Метод мінімального елемента……………………………………..
4.3 Метод апроксимації Фогеля……………………………………….
4.4 Розв’язання транспортної задачі методом потенціалів………….
5 Стержневі системи…………………………………………………………..
5.1 Загальні положення……………………………………………...…
5.2 Стержневі системи…………………………………………………
6 Електричні системи…………………………………………………………
6.1 Основні положення………………………………………………..
6.2 Математична модель електричної системи………………………
7 Гідравлічні системи та приклад математичної моделі гідравлічної системи…………………………………………………………………………
8 Системи з комп’ютерним керуванням……………………………………..
8.1 Принципова схема системи з комп’ютером………………………
8.2 Математична модель технічного об’єкта із комп’ютерною системою управління………………………………………………………….
8.2.1 Стійкі системи……………………………………………….
8.2.2 Керовані системи…………………………………………….
9 Перелік вправ-завдань та контрольні запитання………………………......
10 Завдання для контрольних та лабораторних робіт……………………….
Словник термінів з системного аналізу……………………………………....
Література………………………………………………………………………

Вступ

Науково-технічна революція привела до виникнення таких понять, як великі і складні системи, яким притаманні специфічні проблеми. Необхідність розв'язання цих проблем викликала до життя множину прийомів, методів, підходів, які накопичувались, розвивались, узагальнювались, створюючи цим цілі технології змагання кількісних і якісних складнощів.

Як сказав академік М. М. Амосов: "Є декілька важливих проблем, які шкодять людям бути щасливими: хвороби, виховання дітей, соціальні відношення. Причина одна: невміння керувати складними системами, організмом, психікою... Щоб керувати, необхідно знати."

Термін "система" з'явився в науковій літературі давно і є таким же невизначеним, як "множина" або "сукупність". Даний термін спочатку використовувався в механіці, де він означає матеріальну систему, тобто сукупність матеріальних точок. Основний інтерес для подібних систем становлять задачі динаміки, які виявляють причинно-наслідковий механізм їх руху.

Становлення динаміки як науки пов'язано з іменами Галілея, Гюйгенса, Ньютона, Лагранжа. Генію Ньютона ми зобов'язані не тільки точним формулюванням основних законів механіки, але і побудовою диференціального числення, на якому базуються адекватні математичні моделі механічних систем. Моделі, які використовують диференціальні рівняння, виявились настільки вдалими, що були потім використані для опису різних фізичних явищ: електричних, електромагнітних, гідравлічних і под. В останні десятиліття вони використовувались для опису бойових операцій, глобальних процесів, які відбуваються в світі, та інших явищ, в яких провідна роль належить живій природі взагалі і людині в окремих випадках.

Створення складних технічних систем, проектування складних народногосподарських комплексів і управління ними, аналіз екологічних ситуацій та інші напрямки інженерної, наукової і господарської діяльності потребували організації досліджень, які б носили нетрадиційний характер.

Вони потребували об'єднання зусиль спеціалістів різних наукових профілів, уніфікації і погодження інформації, яка отримується в результаті дослідження конкретного характеру. Успішний розвиток системних і комплексних досліджень з використанням математичних методів і оброблення інформації завдячують появі електронно-обчислювальної техніки. Отже системний аналіз виник в епоху ЕОМ і його розвиток визначається її сучасними можливостями і перспективами.

Результатом системи досліджень є вибір конкретної альтернативи, план розвитку регіону параметрів конструкцій. Таким чином, системний аналіз це дисципліна, яка займається проблемами прийняття рішення в умовах, коли вибір альтернативи потребує аналізу складної інформації різної фізичної природи.

Іноді ситуація виявляється такою складною, що у людини, яка приймає рішення, вже немає впевненості, що вибір правильний. В таких випадках виникає необхідність в наукових методах прийняття рішення. В результаті розвиток цих методів і сприяв виникненню окремої дисципліни теорії прийняття рішень. На сучасному етапі її апарат та інструментарій, що опираються на широке використання ЕОМ, перетворились в складну і розвинуту наукову теоретичну систему, що стала називатися системним аналізом.

Становлення нової дисципліни розпочалось в кінці XIX і на початку XX століття, коли з'явились перші праці з теорії регулювання, коли в економіці почали вперше говорити про функцію мети (корисності), коли В. Паретто був сформульований перший принцип компромісу.

Основні положення системного аналізу

Необхідний словник основних термінів з системного аналізу наведений у кінці даного навчального посібника (див. С. 91 - 99).

На сьогодні системний аналіз – це широка синтетична дисципліна, що містить в собі цілий ряд розділів, які носять характер самостійних наукових дисциплін, таких як: диференціальні рівняння, чисельні методи, методи оптимізації, варіаційне числення, елементи дослідження операцій, теорія оптимального управління та ін.

Дослідження операцій є основним витоком системного аналізу. Ця дисципліна характеризується трьома головними напрямками, які завжди присутні в дослідженні.

Перший етап – побудова моделі, тобто формалізація досліджуваного процесу або явища. Вона зводиться до опису процесу мовою математики. На цьому етапі мова йде про побудову моделі процесу. За допомогою однієї і тієї ж моделі можуть вивчатися різні операції.

Другий етап – опис операції, постановка задачі. Формулюється мета операції, тобто проведення необхідного аналізу невизначеностей, обмежень, що приводить до деякої задачі оптимізації.

Третій етап – розв'язання задачі оптимізації. Для її завершення можуть знадобитися відповідні математичні методи.

Математичне програмування та інші методи розв'язання екстремальних задач складають основу апарату дослідження операцій.

В зв'язку з тим, що побудова та дослідження математичних моделей є основою всього системного аналізу, основна увага буде звернута на принцип моделювання, оптимізацію та математичне програмування.