Пограничный слой при обтекании несжимаемой жидкостью плоской пластинки. Задача Блязиуса

Дадим теперь полное решение задачи об установившемся пограничном слое на абсолютно гладкой тонкой неподвижной пластинке – полуплоскости (см. рис. 5.1), когда скорость набегающего потока постоянна и направлена по оси x (по пластинке).

В этом случае уравнения (5.8) и (5.3) приобретают вид

(5.12)

так как движение установившееся, а внешний поток представляет собой поступательное движение с постоянным давлением .

На пластинке имеем условие прилипания

при

, , (5.13)

на внешней границе пограничного слоя

при

. (5.14)

Так как в рассматриваемой задаче нет характерного линейного размера, то система размерных и безразмерных определяющих параметров имеет вид

, , , и , . (5.15)

Поэтому искомые функции и можно представить через безразмерные функции и вида:

, . (5.16)

Если теперь в уравнениях (5.12) и в граничных условиях (5.13) и (5.14) совершить замену переменных:

, , , , (5.17)

то получим

(5.18)

при , ,

при .

Уравнения и граничные условия для функций и не содержат параметра , поэтому решение системы (5.18) не должно зависеть от . Из (5.16) получим:

(5.19)

так как аргумент содержит параметр , от которого решение не зависит.

Из формул (5.19) вытекает, что уравнения с частными производными (5.18) приводятся в данной задаче к обыкновенным уравнениям с одной независимой переменной

. (5.20)

Решение задачи Блязиуса

В общем случае из уравнения неразрывности

следует, что для плоскопараллельных движений несжимаемой жидкости существует функция тока такая, что

и .

Полагая

найдём

Таким образом, на основании уравнения неразрывности получим, что компоненты и выражаются через функцию в виде

. (5.21)

Подставляя (5.21) в уравнение движения, после простых преобразований получим

. (5.22)

Для получения решения этого нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка необходимо найти функцию в интервале , удовлетворяющую уравнениям (5.22) и на концах интервала следующим граничным условиям, вытекающим из (5.18):

и . (5.23)

Для определения функции требуется решить краевую задачу. Эту краевую задачу легко свести к задаче Коши с данными на одном конце, если воспользоваться следующим общим свойством решений уравнения (5.22).

Пусть - некоторое решение уравнения (5.22); непосредственной проверкой легко убедиться, что функция

(5.24)

также является решением уравнения (5.22) при любом постоянном .

Определим теперь функцию как решение следующей задачи Коши для уравнения (5.22):

, . (5.25)

С помощью уравнения (5.22) и данных Коши (5.25) функцию нетрудно рассчитать известными численными методами для любых . По данным расчёта можно определить предел

, причём . (5.26)

Определим теперь в формуле (5.24) постоянную таким образом, чтобы удовлетворялось условие (5.23) при . Имеем:

, .

Отсюда следует, что

Очевидно, что для получения искомого решения для функции с помощью формулы (5.24) достаточно положить или на основании (5.26)

Следовательно, полное решение представляется формулами (5.21) и (5.24) при , определённой из численного решения задачи Коши (5.25).

Сопротивление трения

Вычислим теперь касательную составляющую напряжения вязкого трения на поверхности пластинки. Имеем

. (5.27)

Напряжение трения зависит от координаты x и падает с ростом x.

Полное сопротивление одной стороны прямоугольного участка пластинки шириной b и длины по потоку L представится формулой

Отсюда для коэффициента трения получим

(5.28)

где .

Таким образом, в этом случае полное сопротивление пропорционально скорости обтекания U₀ в степени , а коэффициент трения обратно пропорционален корню квадратному из числа Рейнольдса.

Напомним, что сила сопротивления движению тел с постоянной поступательной скоростью в вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса пропорциональна первой степени скорости.