Дадим теперь полное решение задачи об установившемся пограничном слое на абсолютно гладкой тонкой неподвижной пластинке – полуплоскости 
(см. рис. 5.1), когда скорость 
набегающего потока постоянна и направлена по оси x (по пластинке).
В этом случае уравнения (5.8) и (5.3) приобретают вид
,
(5.12)
,
так как движение установившееся, а внешний поток представляет собой поступательное движение с постоянным давлением 
.
На пластинке имеем условие прилипания
при
, 
, (5.13)
на внешней границе пограничного слоя
при
. (5.14)
Так как в рассматриваемой задаче нет характерного линейного размера, то система размерных и безразмерных определяющих параметров имеет вид
, 
, 
, 
и 
, 
. (5.15)
Поэтому искомые функции 
и 
можно представить через безразмерные функции 
и 
вида:
, 
. (5.16)
Если теперь в уравнениях (5.12) и в граничных условиях (5.13) и (5.14) совершить замену переменных:
, 
, 
, 
, (5.17)
то получим
,
(5.18)
при 
, 
,
при 
.
Уравнения и граничные условия для функций 
и 
не содержат параметра 
, поэтому решение системы (5.18) не должно зависеть от . Из (5.16) получим:
,
(5.19)
,
так как аргумент 
содержит параметр , от которого решение не зависит.
Из формул (5.19) вытекает, что уравнения с частными производными (5.18) приводятся в данной задаче к обыкновенным уравнениям с одной независимой переменной
. (5.20)
Решение задачи Блязиуса
В общем случае из уравнения неразрывности
следует, что для плоскопараллельных движений несжимаемой жидкости существует функция тока 
такая, что
и 
.
Полагая
,
найдём
.
Таким образом, на основании уравнения неразрывности получим, что компоненты 
и 
выражаются через функцию 
в виде
,
. (5.21)
Подставляя (5.21) в уравнение движения, после простых преобразований получим
. (5.22)
Для получения решения этого нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка необходимо найти функцию в интервале 
, удовлетворяющую уравнениям (5.22) и на концах интервала следующим граничным условиям, вытекающим из (5.18):
и 
. (5.23)
Для определения функции требуется решить краевую задачу. Эту краевую задачу легко свести к задаче Коши с данными на одном конце, если воспользоваться следующим общим свойством решений уравнения (5.22).
Пусть 
- некоторое решение уравнения (5.22); непосредственной проверкой легко убедиться, что функция
(5.24)
также является решением уравнения (5.22) при любом постоянном 
.
Определим теперь функцию как решение следующей задачи Коши для уравнения (5.22):
, 
. (5.25)
С помощью уравнения (5.22) и данных Коши (5.25) функцию нетрудно рассчитать известными численными методами для любых 
. По данным расчёта можно определить предел
, причём 
. (5.26)
Определим теперь в формуле (5.24) постоянную таким образом, чтобы удовлетворялось условие (5.23) при 
. Имеем:
, 
и
, 
.
Отсюда следует, что
.
Очевидно, что для получения искомого решения для функции с помощью формулы (5.24) достаточно положить 
или на основании (5.26)
.
Следовательно, полное решение представляется формулами (5.21) и (5.24) при , определённой из численного решения задачи Коши (5.25).
Сопротивление трения
Вычислим теперь касательную составляющую 
напряжения вязкого трения на поверхности пластинки. Имеем
. (5.27)
Напряжение трения зависит от координаты x и падает с ростом x.
Полное сопротивление одной стороны прямоугольного участка пластинки шириной b и длины по потоку L представится формулой
.
Отсюда для коэффициента трения получим
(5.28)
где 
.
Таким образом, в этом случае полное сопротивление пропорционально скорости обтекания U0 в степени 
, а коэффициент трения обратно пропорционален корню квадратному из числа Рейнольдса.
Напомним, что сила сопротивления движению тел с постоянной поступательной скоростью в вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса пропорциональна первой степени скорости.
