Под емкостным элементом электрической цепи понимают такой идеализированный элемент, в котором запасается энергия электрического поля, зависящая от напряжения, а потери и накопление магнитной энергии отсутствуют.
 |
Близким к этому идеальному элементу является электрический конденсатор, обладающий хорошим диэлектриком и работающий при относительно невысоких частотах.
Обозначение емкостного элемента на схеме показано на рис. 1.16.
Термин емкость служит как для обозначения самого элемента, так и для его количественной оценки. Количественно емкость определяется отношением заряда элемента к напряжению на его зажимах:
При подключении емкости к источнику напряжения на его обкладках накапливается заряд, величина которого связана с напряжением соотношением
q = Cu.
Дифференцируя это выражение по времени, определим ток через емкость при известном q:
Если известен ток, то, интегрируя полученное уравнение в пределах от –∞ до t, определим напряжение на емкости:
.
 |
Так как напряжение uC и заряд q имеют одинаковый знак, то емкость всегда положительна С > 0. Кулон-вольтовая характеристика для линейной емкости представлена на рис. 1.17.
Мгновенная мощность емкостного элемента
При одинаковых знаках uC и iC мощность положительна рС > 0 – на обкладках конденсатора запасается энергия электрического поля.
При различных знаках uC и iC мощность отрицательна рС < 0 – запасенная энергия возвращается в электрическую цепь, емкость работает как источник энергии.
Энергия, запасенная в емкости, определяется выражением
Так как энергия WC пропорциональна квадрату напряжения, то она всегда положительна WC > 0.
Если емкость подключить на постоянное напряжение UC = const, то
Следовательно, емкость в цепи постоянного тока представляет собой разрыв цепи.
Основные законы, действующие в электрических цепях
Основные законы, используемые при расчете электрических цепей – это законы Ома, Кирхгофа и Джоуля – Ленца.
Закон Ома.
Для существования тока в проводнике необходимо создать разность потенциалов на его концах.
Рассмотрим участок цепи (рис. 1.18), по которому протекает ток I, направленный от точки 1 к точке 2. Разность потенциалов на концах проводника равна 
. Чем больше разность потенциалов, тем большую скорость направленного движения приобретут частицы, тем больше будет ток.
С другой стороны, любой проводник оказывает сопротивление проходящему по нему току, поэтому, чем больше сопротивление, тем меньше сила тока в проводнике.
.
Закон Ома утверждает: ток на участке электрической цепи, не содержащем источников, прямо пропорционален напряжению, приложенному к этому участку, и обратно пропорционален сопротивлению этого участка.
 |
В том случае, если участок электрической цепи содержит источники энергии, следует применять обобщенный закон Ома. Выделим в сложной электрической цепи ветвь, содержащую источник ЭДС и сопротивление R (рис. 1.19).
Выберем условно положительное направление тока от точки 1 к точке 2. Выразим потенциал точки 1 через потенциал точки 2:
,
тогда ток определится выражением
.
При выражении потенциала φ 1 через φ 2 мы учли, что при движении вдоль ветви от точки 2 ЭДС направлена навстречу движению, так как в источнике ЭДС заряд переносится от меньшего потенциала к большему, то потенциал понижается. Ток направлен от большего потенциала к меньшему, следовательно, потенциал повышается на величину падения напряжения в сопротивлении R. Таким образом, при составлении уравнений по обобщенному закону Ома следует помнить правила:
1) потенциал точки, от которой течет ток, считается положительным, к которой течет ток, – отрицательным;
2) ЭДС берется со знаком «плюс», если ее действие совпадает с направлением тока, «минус» – если ее действие противоположно току.
Рассмотрим замкнутую цепь, в которой действует источник ЭДС с внутренним сопротивлением r 0 (рис. 1.20). Исходя из закона Ома для участка цепи, напряжение на нагрузке можно записать
.
С другой стороны U – напряжение на зажимах источника, которое определяется внешней характеристикой
.
В этом случае будут справедливы соотношения:
или 
,
отсюда ток, текущий от источника, определится по формуле
.
Это выражение представляет собой закон Ома для полной цепи: ток в цепи прямо пропорционален ЭДС, действующей в цепи, и обратно пропорционален полному сопротивлению цепи.
Законы Кирхгофа
Для расчета электрических цепей используют два закона Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа применяется к узлам электрической цепи и выражает баланс токов в них.
Первый закон Кирхгофа состоит в том, что алгебраическая сумма токов в узле равна нулю. В общем виде формулировку этого закона можно записать как
.
Возьмем произвольный узел, в котором протекают токи, указанные стрелками (рис. 1.21). Токи, направленные к узлу берутся с одним знаком, токи, направленные от узла – с противоположным. Будем считать положительными токи, направленные от узла, тогда первый закон Кирхгофа запишется
.
Это выражение можно преобразовать, перенеся отрицательные токи в правую часть,
.
Отсюда следует другая формулировка первого закона Кирхгофа: сумма токов, подходящих к узлу, равна сумме токов, отходящих от узла.
Это говорит о том, что в узле заряд не накапливается.
Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и выражает баланс напряжений в них: алгебраическая сумма ЭДС в замкнутом контуре равна алгебраической сумме падений напряжения на элементах этого контура.
При составлении уравнений действует следующее правило знаков: электродвижущая сила берется со знаком плюс, если ее действие совпадает с направлением обхода контура, падение напряжения берется со знаком плюс, если направление тока в элементе совпадает с направлением обхода контура, в противном случае знак – минус.
Для доказательства рассмотрим разветвленную электрическую цепь, представленную на рис. 1.22.
Выберем направление обхода контура по часовой стрелке и определим потенциалы точек 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1. Начнем с точки 1, считая потенциал этой точки φ 1 известным. ЭДС, направленная вдоль контура, повышает потенциал, тогда потенциал точки 2 определится выражением
.
На участке 2 – 3 ток течет вдоль обхода контура от точки 2 к точке 3, следовательно, потенциал точки 3 ниже потенциала точки 2 на величину падения напряжения на сопротивлении R 2. В этом случае потенциал третьей точки выразится через потениал второй в соответствии с формулой
.
На участках с сопротивлениями R 4 и R 5 ток направлен против обхода контура, следовательно, вдоль обхода потенциалы повышаются:
;
.
Аналогично определим потенциалы остальных точек:
;
.
Изменение потенциала вдоль замкнутого контура равно нулю, так как мы вышли из точки с потенциалом φ 1 и возвращаемся в эту же точку:
.
Подставляя в эту формулу выведенные выше выражения для потенциалов, получим
.
Поскольку сумма потенциалов равна нулю, то получим
,
что и требовалось доказать.
Закон Джоуля-Ленца
При упорядоченном движении заряженных частиц в проводнике электрическое поле совершает определенную работу. Эту работу принято называть работой тока.
Если за время dt через поперечное сечение проводника, к концам которого приложена разность потенциалов u, проходит заряд dq, то электрическое поле совершает работу
.
Так как ток равен 
, то изменение заряда можно выразить через ток:
,
тогда производимая работа определится как
.
Согласно закону сохранения энергии эта работа должна равняться изменению энергии на данном участке цепи за время dt. Если на участке цепи не совершается механическая работа и не происходит химических преобразований, то энергия тратится на нагрев проводника
,
используя закон Ома, это выражение можно записать
.
Таким образом, количество теплоты, выделяемой током в проводнике за время dt равно произведению квадрата силы тока, сопротивления проводника и времени, в течение которого протекает ток.
Любой электрический прибор рассчитан на потребление определенной энергии в единицу времени, поэтому следует ввести понятие мощности. Мгновенная мощность равна отношению работы, совершаемой за время dt к этому интервалу времени
.
Используя закон Ома, закон Джоуля – Ленца можно записать в виде
.
