Емкостный элемент (емкость)

Под емкостным элементом электрической цепи понимают такой идеализированный элемент, в котором запасается энергия электрического поля, зависящая от напряжения, а потери и накопление магнитной энергии отсутствуют.

Близким к этому идеальному элементу является электрический конденсатор, обладающий хорошим диэлектриком и работающий при относительно невысоких частотах.

Обозначение емкостного элемента на схеме показано на рис. 1.16.

Термин емкость служит как для обозначения самого элемента, так и для его количественной оценки. Количественно емкость определяется отношением заряда элемента к напряжению на его зажимах:

При подключении емкости к источнику напряжения на его обкладках накапливается заряд, величина которого связана с напряжением соотношением

q = Cu.

Дифференцируя это выражение по времени, определим ток через емкость при известном q:

Если известен ток, то, интегрируя полученное уравнение в пределах от –∞ до t, определим напряжение на емкости:

.

Так как напряжение u_C и заряд q имеют одинаковый знак, то емкость всегда положительна С > 0. Кулон-вольтовая характеристика для линейной емкости представлена на рис. 1.17.

Мгновенная мощность емкостного элемента

При одинаковых знаках u_C и i_C мощность положительна р_С > 0 – на обкладках конденсатора запасается энергия электрического поля.

При различных знаках u_C и i_C мощность отрицательна р_С < 0 – запасенная энергия возвращается в электрическую цепь, емкость работает как источник энергии.

Энергия, запасенная в емкости, определяется выражением

Так как энергия W_C пропорциональна квадрату напряжения, то она всегда положительна W_C > 0.

Если емкость подключить на постоянное напряжение U_C = const, то

Следовательно, емкость в цепи постоянного тока представляет собой разрыв цепи.

Основные законы, действующие в электрических цепях

Основные законы, используемые при расчете электрических цепей – это законы Ома, Кирхгофа и Джоуля – Ленца.

 

Закон Ома.

Для существования тока в проводнике необходимо создать разность потенциалов на его концах.

Рассмотрим участок цепи (рис. 1.18), по которому протекает ток I, направленный от точки 1 к точке 2. Разность потенциалов на концах проводника равна . Чем больше разность потенциалов, тем большую скорость направленного движения приобретут частицы, тем больше будет ток.

С другой стороны, любой проводник оказывает сопротивление проходящему по нему току, поэтому, чем больше сопротивление, тем меньше сила тока в проводнике.

.

Закон Ома утверждает: ток на участке электрической цепи, не содержащем источников, прямо пропорционален напряжению, приложенному к этому участку, и обратно пропорционален сопротивлению этого участка.

В том случае, если участок электрической цепи содержит источники энергии, следует применять обобщенный закон Ома. Выделим в сложной электрической цепи ветвь, содержащую источник ЭДС и сопротивление R (рис. 1.19).

Выберем условно положительное направление тока от точки 1 к точке 2. Выразим потенциал точки 1 через потенциал точки 2:

,

тогда ток определится выражением

.

При выражении потенциала φ ₁ через φ ₂ мы учли, что при движении вдоль ветви от точки 2 ЭДС направлена навстречу движению, так как в источнике ЭДС заряд переносится от меньшего потенциала к большему, то потенциал понижается. Ток направлен от большего потенциала к меньшему, следовательно, потенциал повышается на величину падения напряжения в сопротивлении R. Таким образом, при составлении уравнений по обобщенному закону Ома следует помнить правила:

1) потенциал точки, от которой течет ток, считается положительным, к которой течет ток, – отрицательным;

2) ЭДС берется со знаком «плюс», если ее действие совпадает с направлением тока, «минус» – если ее действие противоположно току.

Рассмотрим замкнутую цепь, в которой действует источник ЭДС с внутренним сопротивлением r ₀ (рис. 1.20). Исходя из закона Ома для участка цепи, напряжение на нагрузке можно записать

.

С другой стороны U – напряжение на зажимах источника, которое определяется внешней характеристикой

.

В этом случае будут справедливы соотношения:

или ,

отсюда ток, текущий от источника, определится по формуле

.

Это выражение представляет собой закон Ома для полной цепи: ток в цепи прямо пропорционален ЭДС, действующей в цепи, и обратно пропорционален полному сопротивлению цепи.

 

Законы Кирхгофа

Для расчета электрических цепей используют два закона Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа применяется к узлам электрической цепи и выражает баланс токов в них.

Первый закон Кирхгофа состоит в том, что алгебраическая сумма токов в узле равна нулю. В общем виде формулировку этого закона можно записать как

.

Возьмем произвольный узел, в котором протекают токи, указанные стрелками (рис. 1.21). Токи, направленные к узлу берутся с одним знаком, токи, направленные от узла – с противоположным. Будем считать положительными токи, направленные от узла, тогда первый закон Кирхгофа запишется

.

Это выражение можно преобразовать, перенеся отрицательные токи в правую часть,

.

Отсюда следует другая формулировка первого закона Кирхгофа: сумма токов, подходящих к узлу, равна сумме токов, отходящих от узла.

Это говорит о том, что в узле заряд не накапливается.

Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и выражает баланс напряжений в них: алгебраическая сумма ЭДС в замкнутом контуре равна алгебраической сумме падений напряжения на элементах этого контура.

При составлении уравнений действует следующее правило знаков: электродвижущая сила берется со знаком плюс, если ее действие совпадает с направлением обхода контура, падение напряжения берется со знаком плюс, если направление тока в элементе совпадает с направлением обхода контура, в противном случае знак – минус.

Для доказательства рассмотрим разветвленную электрическую цепь, представленную на рис. 1.22.

 

 

Выберем направление обхода контура по часовой стрелке и определим потенциалы точек 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1. Начнем с точки 1, считая потенциал этой точки φ ₁ известным. ЭДС, направленная вдоль контура, повышает потенциал, тогда потенциал точки 2 определится выражением

.

На участке 2 – 3 ток течет вдоль обхода контура от точки 2 к точке 3, следовательно, потенциал точки 3 ниже потенциала точки 2 на величину падения напряжения на сопротивлении R ₂. В этом случае потенциал третьей точки выразится через потениал второй в соответствии с формулой

.

На участках с сопротивлениями R ₄ и R ₅ ток направлен против обхода контура, следовательно, вдоль обхода потенциалы повышаются:

;

.

Аналогично определим потенциалы остальных точек:

;

.

Изменение потенциала вдоль замкнутого контура равно нулю, так как мы вышли из точки с потенциалом φ ₁ и возвращаемся в эту же точку:

.

Подставляя в эту формулу выведенные выше выражения для потенциалов, получим

.

Поскольку сумма потенциалов равна нулю, то получим

,

что и требовалось доказать.

 

Закон Джоуля-Ленца

При упорядоченном движении заряженных частиц в проводнике электрическое поле совершает определенную работу. Эту работу принято называть работой тока.

Если за время dt через поперечное сечение проводника, к концам которого приложена разность потенциалов u, проходит заряд dq, то электрическое поле совершает работу

.

Так как ток равен , то изменение заряда можно выразить через ток:

,

тогда производимая работа определится как

.

Согласно закону сохранения энергии эта работа должна равняться изменению энергии на данном участке цепи за время dt. Если на участке цепи не совершается механическая работа и не происходит химических преобразований, то энергия тратится на нагрев проводника

,

используя закон Ома, это выражение можно записать

.

Таким образом, количество теплоты, выделяемой током в проводнике за время dt равно произведению квадрата силы тока, сопротивления проводника и времени, в течение которого протекает ток.

Любой электрический прибор рассчитан на потребление определенной энергии в единицу времени, поэтому следует ввести понятие мощности. Мгновенная мощность равна отношению работы, совершаемой за время dt к этому интервалу времени

.

Используя закон Ома, закон Джоуля – Ленца можно записать в виде

.