Электрические цепи периодического синусоидального тока и напряжения

 

Электрический ток и напряжение изменяющиеся во времени по какому-либо закону называют переменными.

Если форма кривой переменного тока и напряжения повторяется через равные промежутки времени, то их называют периодическими.

Наименьшее время, через которое повторяется форма переменного тока и напряжения, называют периодом, обозначают Т и измеряют в с.

Число периодов Т в 1 секунду называют частотой f переменного тока и напряжения и дана размерность герц (Гц).

, Гц

Простейшими периодическими переменными током и напряжением являются вырабатываемые генераторами всех видов электростанций напряжения и тока (энергия) синусоидальной формы.

, А

 

, B

 

 

 

 

Здесь обозначают:

i(t), u(t) – мгновенное значение тока и напряжения;

I_m, U_m – амплитудные значения тока и напряжения;

Y_i, Y_u – начальная фаза тока и напряжения, герц;

= 2p×f – угловая частота, с^-1.

Разницу начальных фаз напряжения и тока обозначили j=Y_u–Y_i и назвали угол сдвига фаз.

Периодические ток и напряжение характеризуют еще понятиями среднего и действующего значения.

Среднее значение – это среднее значение за период. Так как у синусоидальной функции оно равно нулю (), у синусоидального тока и напряжения за среднее значение определяют значение за полпериода ().

, А

 

, В

 

или I_ср=0,64 I_m, U_ср=0,64 U_m.

Действующее значение периодической синусоидальной функции – это среднеквадратичное значение за период.

 

Тогда

, A

 

, B

 

Необходимо запомнить – разница между амплитудным и действующим значением периодического синусоидального тока и напряжения – .

Измерительные приборы (амперметры. вольтметры) магнитоэлектрической системы показывают среднее (I_ср, U_ср) значение синусоидального тока и напряжения i(t), u(t).

Измерительные приборы (амперметры. вольтметры) электромагнитной, электродинамической, тепловой систем показывают действующее значение (I, U) синусоидального тока и напряжения i(t), u(t).

По действующему значению I периодического синусоидального тока судят о его тепловом воздействии: действующее значение I равно постоянному току I₀, который выделяет в активном сопротивлении R за один период Т столько же тепла, что и .

(I²R=I₀²R).

 

 

Мощность в электрических цепях периодического

Синусоидального тока.

 

Мгновенное значение мощности.

 

 

, BA

 

Здесь обозначили и назвали:

U×I=S – полная мощность, ВА;

U×I×Cos j=P – активная мощность, Вт;

U×I×Sin j=Q – реактивная мощность, ВАР.

Рассмотрим поведение периодических синусоидальных токов и напряжений в отдельных элементах электрических цепей.

 

Активное сопротивление R.

U_m= I_m×R; Y_u=Y_i; j=Y_u–Y_I=0

т.е. в активном сопротивлении угол сдвига фаз j равен нулю, значит напряжение и ток в активном сопротивлении совпадает по фазе (j_R=Y_u–Y_i=0).

Среднее значение за период – активная мощность

 

 

Индуктивность L

 

 

 

, ,

 

а величину X_L= ×L называют индуктивным сопротивлением и дали размерность Ом, величина обратная X_L – индуктивная проводимость .

Здесь получили два важных момента:

- индуктивное сопротивление X_L= ×L=2p×f×L, Ом;

- на идеальной индуктивности L угол сдвига фаз , т.е. напряжение U_L(t) опережает ток в индуктивности на 90°.

.

Видно, что активная мощность p_L=0, a Q_L= U×I = I²×X_L

 

 

Емкость C

 

 

, b_c – емкостная проводимость;

 

– емкостное сопротивление, размерность – Ом.

 

.

 

Получили две важных момента:

- емкостное сопротивление и проводимость

,

- на идеальной емкости С угол сдвига фаз , т.е. напряжение отстает от тока на угол 90°.

Как и на индуктивности, на емкости активная мощность P_С=0, а реактивная Q_С= U×I = I²×X_С

Если токи и напряжения на R, L и С изобразить в виде векторов, то можно видеть:

 

j_R = 0

j_L = +90°

j_С = –90°

 

Наша задача – рассчитать электрическую цепь, т.е. определить токи в ветвях и напряжения между узлами и на элементах, при действии периодических синусоидальных токов и напряжений.

Рассмотрим простейшую цепь – последовательное соединение элементов R, L, C.

 

 

Допустим, что , т.е. . Тогда по второму закону Кирхгофа:

 

где величину X_L­–X_C=X назвали реактивным сопротивлением.

(Видно, что X имеет знак ±, в зависимости что больше X_L­ или X_C).

Используя тригонометрию, можно видеть:

 

;

 

,

 

где , назвали – полное сопротивление

 

Если изобразить расчет напряжения в цепи в виде векторов, то получим:

 

– цепь имеет индуктивный характер.

 

 

– цепь имеет емкостной характер.

 

Разделив все напряжения на ток, можно получить треугольник сопротивлений.

 

 

 

; .

 

Рассмотрим еще одну простую цепь – из параллельного соединения R, L, C.

 

Допустим

,

.

По 1-му закону Кирхгофа:

 

где

– активная проводимость;

– индуктивная проводимость;

– емкостная проводимость;

– реактивная проводимость.

(b, как и Х имеет знак ± в зависимости, что больше b_L или b_C).

 

Если изобразить расчет тока в цепи в виде векторов, то получи:

 

 

 

 

Разделив токи на напряжения, получим треугольник проводимостей.

 

;

 

Данный способ расчетов электрических цепей при периодических синусоидальных токах и напряжениях, когда приходится все время оперировать синусоидальными (косинусоидальными) функциями и понятиями полных сопротивлений и проводимостей и использовать при расчете векторные диаграммы по 1 и 2 законам Кирхгофа получил название графо-аналитического метода.

Большого применения, особенно при сложных цепях, этот метод не получил, ввиду большой сложности, особенно при ручном расчете.

 

РЕАКТИВНЫЕ ДВУХПОЛЮСНИКИ.

Наиболее простой электрической цепью является двухполюсник – любой сложности схема, имеющая два зажима (входной, выходной).

Двухполюсники могут быть различными:

- линейные, нелинейные;

- активные, пассивные;

- реактивные, с потерями и т.п. (зависит от характеристик элементов в схеме).

Мы рассмотри линейные, пассивные, чисто реактивные (имеются катушки L_i и емкости C_i) двухполюсники.

В виду того, что соотношения между мгновенными токами i(f) и напряжениями U(f) описываются интегрально-дифференциальными выражениями по 1 и 2 законам Кирхгофа, воспользуемся их изображениями по преобразованию Лапласа или их аналогами для частных случаев.

комплексная частота;

операторное индуктивное сопротивление;

операторное емкостное сопротивление;

операторное реактивное сопротивление и проводимость.

При гармоническом (синусоидальном, периодическом) воздействии .

Зависимости от частоты.

Z(w), Y(w) – амплитудочастотная характеристика;

j(w) – фазочастотная характеристика.

Рассмотрим несколько простейших схем реактивных двухполюсников:

 

 

 

Сделав анализ рассмотренных схем, можно видеть:

- число резонансов на единицу меньше числа элементов;

- АЧХ определяется чередованием нулей (резонанс токов) и полюсов (резонанс токов); если в схеме есть путь для постоянного тока, то первым конкретным резонансом будет резонанс токов;

- крутизна АЧХ Z(ш), Y(ш) всегда положительна или (теорема Фостера);

- - всегда отношение двух полиномов ω, степени которых отличаются на 1;

- у некоторых схем АЧХ выглядят одинаково (Z₃ и Z₅), (Z₄ и Z₆), у некоторых обратно (Z₃ и Z₆, Z₅ и Z₆).

Два двухполюсника называются обратными, если произведение их сопротивлений величина вещественная и положительная, а амплитудо-частотные характеристики выглядят взаимообратно (меняются местами нули и полюса).

В схемах обратных двухполюсников элементы дуальны (L↔C) и изменяется вид соединений (последовательное ↔ параллельное).

Два двухполюсника называются эквивалентными, если при разных схемах и выражениях они имеют одинакового вида АЧХ. В схемах эквивалентных двухполюсников элементы имеют разные величины, но меняется вид соединений (последовательное↔параллельное).

 

Канонические схемы двухполюсников.

Канонической называют схему, которая при правильном задании дает возможность выполнить это задание.

Если обобщить выражения входных сопротивлений простейших схем , то в общем случае выражение входного сопротивления двухполюсника будет иметь вид (в операторной форме):

При :

Так как степени n и m или равны или отличаются не более чем на 1, а всегда нечетная функция ω, может быть только четыре вида , которые назвали классами.

H, a, b – вещественные величины, зависящие от параметров элементов схемы.

I класс.

Степени числителя и знаменателя одинаковы (n=m).

II класс.

Степени числителя и знаменателя одинаковы (n=m).

III класс.

Степени числителя и знаменателя отличаются на 1 (m=n+1).

IV класс.

Степени числителя и знаменателя отличаются на 1 (n=m+1)

Частотные характеристики сопротивлений двухполюсников можно изобразить с помощью нулей (0) и полюсов (x).

Выражениям входного сопротивления (Z₁, Z₂, Z₃, Z₄ (jω)) и входной проводимости (Y₁, Y₂, Y₃, Y₄ (jω)) соответствуют определенные схемы реактивных двухполюсников, которые получили название канонических схем.

Возможны два варианта нахождения схем. Первый вариант основан на нахождении корней числителя и знаменателя и представлении выражений Z(jω) или Y(jω) в виде (на примере Z₄(jω), Y₄(jω)):

Таким же образом можно рассмотреть проводимости. В результате такого представления и анализа выражений Z(jω) и Y(jω) получаем, что каждому классу соответствуют две схемы (схемы Фостера):

1)

2)

3)

4)

 

В то же время для схем двухполюсников вида

Входное сопротивление и проводимость можно представить в виде цепочечной дроби (схемы получили название цепных или лестничных).

Если канонические выражения входных сопротивлений (Z₁, Z₂, Z₃, Z₄ (jω)) и проводимостей (Y₁, Y₂, Y₃, Y₄ (jω)) представить в виде цепочечной дроби можно получить еще по два варианта канонических схем каждого класса (схемы Кауэра):

1)

2)

3)

4)

Каждая из четырех схем соответствующего класса имеет уже показанную выше амплитудо-частотную характеристику (т.е. в каждом классе схем – 4, АЧХ – 1).