Входные и передаточные проводимости

Решение системы уравнений по законам Кирхгофа для линейной цепи, содержащей источники тока и источники э.д.с., имеет вид

(27)

где - коэффициенты, не зависящие от тока.

Структура уравнений (27) соответствует принципу суперпозиций: ток в n-ой ветви равен сумме токов от действия каждого отдельного источника:

Коэффициенты при э.д.с. имеют размерность проводимости.

Коэффициенты с одинаковыми индексами (y₁₁, y₂₂…)называют собственными или входными проводимостями.

Их физический смысл очевиден: они численно равны току ветви при действии единственной э.д.с. в 1 Вольт, включенной в эту самую ветвь.

 

Рис.27

 

Входная (собственная) проводимость цепи рис.27

(27,а)

Величину, обратную входной проводимости, называют входным сопротивлением.

Для цепи рис. 27

Только для неразветвленной цепи понятие входная проводимость (сопротивление) совпадает с элементарным понятием проводимости (сопротивления).

Коэффициенты с разными индексами (y₁₂, y₁₃ и т.д.) называют передаточными или взаимными проводимостями.

Их физический смысл: передаточная проводимость между ветвью 2 и ветвью 1, т.е. y₂₁, равна току в ветви 2 при действии в ветви 1 э.д.с. равной 1 В.

Для цепи на рис.27 . (27, в)

* Из приведенного определения коэффициентов y_nk в сочетании с принципом суперпозиции возможна такая характеристика:

возрастание тока в ветви 2 (или 1) при возрастании э.д.с. E₁ в ветви 1 равно проводимости y₂₁ (или y₁₁), умноженной на приращение э.д.с. E₁:

(28)

*Очевидно, что y₂₁=y₁₂

Метод контурных токов.

 

Метод контурных токов – один из основных и широко применяемых на практике методов. Он заключается в определении по второму закону Кирхгофа контурных токов. Для каждого контура цепи задают ток, который остается неизменным. В цепи протекает столько контурных токов, сколько независимых контуров в ней содержится. Направление контурного тока выбирают произвольно.

Контурные токи, проходя через узел, остаются непрерывными. Следовательно, первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Уравнения с контурными токами записываются только для второго закона Кирхгофа. Число уравнений, составленных по методу контурных токов, меньше чем по методу законов Кирхгофа.

 

Рис.28. Иллюстрация к методу контурных токов.

 

На рис.28 показана цепь с двумя независимыми контурами, следовательно, и с двумя контурными токами I₁₁ и I₂₂.

Токи в ветвях I₁ и I₂ равны контурным токам:

I₁=I₁₁, I₂=I₂₂

Ток I₃ равен сумме этих двух контурных токов:

I₃=I₁₁+I₂₂

По второму закону Кирхгофа для первого контура цепи:

I₁r₁+I₃r₃=E₁-E₃

Или: I₁₁r₁+(I₁₁+I₂₂)r₃=E₁-E₃;

I₁₁ (r₁+r₂)+I₂₂r₃=E₁-E₃

Обозначим r₁+r₂=r₁₁

r₃=r₁₂; E₁-E₃

Тогда: I₁₁r₁₁+I₂r₁₂=E₁₁

r₁₁ – сумма всех сопротивлений, входящих в контур I, называется собственным сопротивлением контура.

r₁₂ – сопротивление ветви, общей для контура I и II;

E₁₁=E₁-E₂ – алгебраическая сумма всех э.д.с., содержащихся в первом контуре; со знаком «-» берется э.д.с., действующая навстречу контурному току рассматриваемого контура.

E₁₁ называется контурной э.д.с.

Аналогично для второго контура рис.28.

I₁₁r₂₁+I₂₂r₂₂=E₂₂,

где r₂₁=r₃; r₂₂=r₂+r₃;

E₂₂=E₂-E₃

Уравнения, составленные по методу контурных токов, всегда записывают в виде системы. Для схемы рис.28:

В результате решения системы находят контурные токи, а затем токи ветвей.

Если заданная электрическая цепь содержит n независимых контуров, то на основании второго закона Кирхгофа получается n контурных уравнений:

(29)

Собственные сопротивления r_ii входят в уравнения (29) со знаком «+», поскольку обход контура принимается совпадающим с положительным направлением контурного тока I_ii. Общие сопротивления r_ik войдут в уравнения со знаком «-», когда токи I_i и I_k направлены в них встречно.

Число уравнений, составляемых по методу контурных токов, определяется по формуле:

N_ур=N_b-N_y+1-N_и.т.

где N_b – число ветвей электрической цепи;

N_y – число узлов;

N_и.т. – число идеальных источников тока.

Если в цепи отсутствуют источники тока, число уравнений равно числу контурных токов и, соответственно, числу независимых контуров рассматриваемой электрической цепи.

Пример.

Решим пример 2 параграфа 11, используя метод контурных токов.

Цепь содержит три контура, через которые протекают контурные токи.

При наличии источников тока надо так направлять контурные токи, чтобы они протекали через данные источники. Но через один источник тока не может протекать два контурных тока.

На рис.1 обозначены положительные направления контурных токов. Очевидно, что I₁₁=J₁; I₂₂=-J₂

Контурный ток I₃₃ – неизвестен, для него составляем уравнение:

I₃₃ (R₃+R₄+R₅+R₆)-I₁₁ (R₃+R₄)+I₂₂ (R₅+R₃)=0

В правой части уравнения стоит «0», т.к. отсутствует контурная э.д.с.

В результате решения определяем I₃₃=16,25 мА

Итак: I₁=I₁₁=20мА; I₃=I₁₁-I₂₂-I₃₃=20-(-10)-16,25=13,75мА.

I₄=-I₁₁+I₃₃=-20+16,25=-3,75мА;

I₅=I₂₂+I₃₃=-10+16,25=6,25мА;

I₆=I₃₃=16,25мА.

Метод узловых напряжений.

 

Метод узловых напряжений заключается в определении на основании первого закона Кирхгофа потенциалов в узлах электрической цепи относительного некоторого базисного узла. Базисный узел в общем случае выбирается произвольно, потенциал этого узла принимается равным нулю. Разности потенциалов рассматриваемого и базисного узлов называется узловым напряжением.

На рис.29 представлена схема электрической цепи, содержащая пять ветвей и три узла. За базисный принят узел с индексом «0».

Узловое напряжение U₁₀=j₁-j₀. Положительное напряжение узловых напряжений указывается стрелкой от рассматриваемого узла к базисному.

 

 

Рис.29. Иллюстрация к методу узловых напряжений.

 

Напряжение на ветвях цепи равно, очевидно, разности узловых напряжений концов данной ветви. Например, напряжение ветви 4 равно: U₄=I₄R₄=U₁₀-U₂₀ (30)

Из формулы (30) видно, что, зная узловые напряжения, можно найти ток ветви.

Структуру уравнений получим, рассматривая схему рис.30.

Т.к. узел с индексом «0» принят за базисный, то его потенциал равен нулю. Узловые напряжения (потенциалы) узлов 1 и 2 – неизвестны.

Уравнения по первому закону Кирхгофа для 1 и 2 узлов соответственно записываются:

(31)

Узловое напряжение (32)

Отсюда (33,а)

Аналогично для оставшихся токов:

(33,б)

Выражения (33,а,б) подставляем в систему (31) и после некоторых арифметических преобразований получаем:

(34)

Обозначим q₁₁=q₁+q₂+q₄+q₅ – собственная проводимость узла 1.

q₂₂=q₃+q₄+q₅ – собственная проводимость узла 2.

q₁₂=q₂₁=q₄+q₅ – взаимная проводимость ветви,

соединяющей узлы 1 и 2.

I_y1=E₁q₁+E₂q₂+E₅q₅ – узловой ток узла 1.

I_y2=-E₃q₃-E₅q₅ – узловой ток узла 2.

Из приведенных выражений видно:

Собственная проводимость узла равна сумме проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле.

Взаимная проводимость равна сумме проводимостей ветвей, соединяющих данные узлы.

Узловой ток (теоретическое понятие) – это алгебраическая сумма произведений E_iq_i и J_i источников тока (если они есть) всех ветвей, примыкающих к рассматриваемому узлу. Слагаемое входит в выражение со знаком «+», если э.д.с. и источник тока направлены к узлу. В противном случае – ставится знак «-».

После введенных обозначений система (34) принимает вид:

(35)

Из формул (35) видно, что собственная проводимость входит в выражения со знаком «+», а взаимная проводимость – со знаком «-».

Для произвольной схемы, содержащей n+1 узлов, система уравнений по методу узловых напряжений имеет вид:

(36)

Число уравнений, составляемое по методу узловых напряжений, равно

N_ур=N_y-1-N_э.д.с. (37)

где N_э.д.с. – число идеальных источников э.д.с.

Пример: (общий случай)

Пример: (с идеальными э.д.с.)

Порядок расчета электрических цепей по методу узловых напряжений:

1. Выбираем произвольно базисный узел. Желательно нулевой потенциал представить тому узлу, где сходится большее количество ветвей. Если имеется ветвь, содержащая идеальную э.д.с., то базисный узел должен быть концом или началом этой ветви.

2. Составляется система уравнений для неизвестных узловых напряжений в соответствии с общей структурой этих уравнений (36).

3. Решая данную систему, находят напряжения узлов относительно базиса.

4. Токи ветвей определяют по обобщенному закону Ома:

 

 

(38)

Следствие: Если схема содержит только два узла, то в соответствие с методом узловых напряжений (в отсутствие идеальных э.д.с.) составляется только одно уравнение.

Например, для схемы рис.30:

U₁₀q₁₁=E₁q₁-E₃q₄+J₂ (39)

Формула (39) носит название метода двух узлов.

 

 

Рис.30. Иллюстрация к методу двух узлов.

 

Узловое напряжение по методу двух узлов равно:

(40)

Пример: Дано: E₁=8B; E₅=12B; R₁=R₃=1 Ом; R₂=R₄=2 Ом; R₅=3 Ом.

Определить все токи методом узловых напряжений.

 

 

Рис.1

 

Решение:

Т.к. электрическая цепь содержит три узла и не содержит ветвей с идеальными источниками э.д.с., то число уравнений, составляемых по методу узловых напряжений равно 2.

Узел 3 будем считать базисным.

Тогда

Где

В результате решения системы определяем U₁₃=2,8 B; U₂₃=-1,95 B.

Токи в ветвях определяем по закону Ома:

 

Контрольные вопросы.

1. Сформулировать принцип наложения. Почему он называется принципом независимого действия?

2. Можно ли находить потребляемую мощность, используя метод наложения?

3. Что представляют из себя входные и взаимные проводимости. Физический смысл этих коэффициентов.

4. Изложить суть метода контурных токов, записать систему уравнений для произвольной схемы. Объяснить знаки в уравнениях.

5. Как определяется число уравнений, составляемых по методу контурных токов?

6. Изложить суть метода узловых напряжений. На каком законе основан данный метод?

7. Что означает понятие «узловое напряжение»?

8. Записать систему уравнений по методу узловых напряжений для произвольной схемы, объяснить знаки.

9. Как определить количество уравнений по этому методу?

10. Как учитывается наличие идеальных источников э.д.с. при составлении уравнений?

11. Изложить порядок расчета цепей по методу узловых напряжений.

 

 

Теоремы линейных цепей

Цель лекции №5.

Ознакомившись с лекцией №5 по электротехнике, студент должен знать:

1) формулировки всех ниже перечисленных теорем;

2) уметь пользоваться этими теоремами при решении задач.

 

Теоремы линейных цепей.

I. Теорема компенсации.

В электрической цепи любой пассивный элемент можно заменить эквивалентным источником напряжения, э.д.с. которого равна падению напряжения на данном элементе E=U=IR и направлена навстречу ему.

Справедливость этого утверждения вытекает из того, что любое из слагающих падения напряжений, входящих в уравнения по второму закону Кирхгофа может быть перенесено в другую сторону уравнения с противоположным знаком, т.е. может рассматриваться как дополнительная э.д.с., направленная навстречу току.

Рис.31. Служит иллюстрацией к доказательству теоремы компенсации.

 

Рис. 31. Иллюстрация к теореме компенсации.

 

Если в ветвь ''ab'' рис.31,а последовательно включить две равные, но противоположно направленные э.д.с. E^/=E^//=IR, то точки ''a'' и ''d'', ''c'' и ''b'' оказываются соответственно точками одинакового потенциала:

Таким образом, закоротив точки ''a'' и ''d'' и исключив, получим этот участок из ветви «ab», получим схему рис. 31,в. Ток ветви при этом не изменится.

II. Теорема взаимности (обратимости).

Если источник э.д.с. k- ой ветви E_k вызывает в ветви «n» ток I_n, то этот же источник э.д.с., будучи включенным в ветвь «n» вызовет в ветви «k» тот же ток I_k=I_n.

Рис.32. Иллюстрация к теореме взаимности.

I_n=E_kq_kn, I_k=E_nq_nk (41)

Эти выражения вытекают из формулы 27,в.

Т.к. q_kn=q_nk и E_k=E_n, то I_n=I_k.

Все пассивные линейные электрические цепи обладают свойствами взаимности (обратимости).

Электрические цепи, для которых выполняется условие q_kn=q_nk называются обратимыми цепями.

Использование метода обратимости пассивных линейных электрических цепей в ряде случаев упрощает расчеты.

Пример.

Определить величину и направление тока I₄ в цепи, воспользовавшись для расчета цепи теоремой взаимности. Внутренним сопротивлением источника пренебречь.

E₁=10B; R₁=4Ом; R₂=6Ом; R₃=4Ом; R₄=1,8Ом; R₅=1Ом.

 

Решение:

Использование теоремы взаимности позволяет преобразовать сложную исходную цепь рис.1 в простую рис.2.

 

Простой цепь оказалась потому, что узлы «d» и «b» после переноса источника в ветвь c-d, связанные между собой проводом без сопротивления, слились в один узел. Следовательно, сопротивления R₁ и R₂ соединены параллельно. Так же параллельно соединены сопротивления R₃ и R₅.

На рис.3 эта же цепь изображена наглядно:

 

 

 

Эквивалентное сопротивление:

Ток

Токи I₁^/ и I₅^/ найдем по правилу плеч:

Ток

Но ток I^/ в схеме рис.2 после переноса источника в четвертую ветвь, согласно теореме взаимности, должен быть равен току I₄ в схеме рис.1 до переноса этого источника:

I₄=I^/=0,4(A)

Следует обратить внимание на то, что направление э.д.с. на рис.2 выбрано совпадающим с положительным направлением тока этой ветви до переноса э.д.с. При этом положительное направление тока I^/ на рис.2 должно совпадать с направлением э.д.с. в этой ветви до переноса источника.

*Метод взаимности основан на теореме взаимности.

 

III. Теорема об эквивалентном источнике.

С помощью этой теоремы сложная электрическая схема с произвольным числом источников электрической энергии приводится к схеме с одним источником. Благодаря этому расчет электрической цепи упрощается.

Существует два варианта теоремы об эквивалентном источнике: вариант с источником напряжения и вариант с источником тока.

Теорема об эквивалентном источнике напряжения.

По отношению к зажимам произвольно выбранной ветви оставшаяся активная часть цепи (активный двухполюсник) может быть заменена эквивалентным генератором. Параметры генератора: его э.д.с. E_экв. Равна напряжению на зажимах выделенной ветви при условии, что эта ветвь разомкнута, т.е. E_экв.=U_xx; его внутренне сопротивление r₀ равно эквивалентному сопротивлению пассивной электрической цепи со стороны зажимов выделенной ветви.

 

Рис.33. Иллюстрация к теореме об эквивалентном

источнике напряжения.

 

Эквивалентная схема – схема Гемгольца-Тевенина.

Данная теорема доказывается следующим образом: в ветвь ab две одинаковые по величине и противоположно направленные э.д.с. E₁=E₂ при условии, что они равны напряжению холостого хода между зажимами a-b: E₁=E₂=U_xx.

В соответствии с принципом наложения определяем ток I_k как сумму двух токов: I_k, возникающего под действием э.д.с. E₁ и всех источников оставшейся части схемы, и тока I_k^//, возникающего от независимого действия источника E₂.

Ток I_k^/=0, т.к. E₁=U_xx

Ток I_k^/=I_k в эквивалентной схеме, называемой схемой Гемгольца-Тевенина равен

(42)

где r₀- эквивалентное сопротивление всей пассивной цепи П.

Теорема об эквивалентном источнике тока.

Ток в любой ветви «a-b» линейной электрической цепи не изменится, если электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником тока. Ток этого источника должен быть равен току между зажимами a-b закороченными накоротко, а внутренняя проводимость источника тока должна равняться входной проводимости пассивной электрической цепи со стороны зажимов «a» и «b» при разомкнутой ветви «ab».

Рис.34 иллюстрирует эту теорему.

 

 

Рис.34

 

Действительно, из условия эквивалентности источников тока и напряжения следует: источник напряжения э.д.с. которого равна U_xx, а внутренне сопротивление равно r₀ может быть заменен источником тока:

(43)

J_экв., определенное по формуле (43), является током короткого замыкания, т.е. током, проходящим между зажимами «a-b», замкнутыми накоротко.

Искомый ток ветви «k» равен:

(44)

где .

Методы решения задач, основанные на теоремах об эквивалентном источнике напряжения и об эквивалентном источнике тока, называются соответственно методом эквивалентного генератора и методом эквивалентного источника тока.

Эти методы используются в тех случаях, когда по условию задачи требуется рассчитать ток только одной ветви электрической цепи.

Порядок расчета задачи методом эквивалентного генератора:

1) разрывают выделенную ветвь схемы и путем расчета оставшейся части схемы одним из методов определяют U_xx на зажимах разомкнутой ветви;

2) определяют r₀ (внутренне сопротивление эквивалентного источника) по отношению к зажимам выделенной ветви методом эквивалентных преобразований.

При этом обязательно изображается пассивная схема, где источники э.д.с. заменяются их внутренними сопротивлениями (если э.д.с. - идеальная, то участок ее подключения изображается короткозамкнутым), источники тока заменяются их внутренними проводимостями (ветви с идеальными источниками тока разрываются);

3) Определяют ток выделенной ветви по закону Ома:

.

Параметры эквивалентного генератора для реальной цепи могут быть получены на основе опытов холостого хода и короткого замыкания. Из опыта x.x. определяют U_xx, а из опыта к.з. – I_k.з. Внутреннее сопротивление источника: .

Пример: В цепи,изображенной на рис.1 измерено напряжение между зажимами a-b вольтметром с весьма большим сопротивлением: U_a-b=60B. Затем между зажимами a-b включили амперметр, сопротивлением которого можно пренебречь, ток, показанный амперметром I=1,5A. Сколько покажет вольтметр с сопротивлением R_V=760(Ом), если его включить между зажимами a-b?

Решение: Решим задачу методом эквивалентного генератора. Генератором будем считать цепь, очерченную пунктиром. Пусть это будет генератор напряжения. Э.д.с. этого генератора, равная напряжению холостого хода, измерена вольтметром с большим внутренним сопротивлением. Следовательно E_экв.=60B. Ток короткого замыкания показал амперметр: I_к.з.=1,5A. Но ток короткого замыкания ограничен только внутренним сопротивлением генератора. Следовательно, его внутренне сопротивление:

Если теперь к зажимам a-b подключить сопротивление R_V=760(Ом), ток через это сопротивление будет равен:

А падение напряжения на этом сопротивлении:

U=IR_V=57(B).

Это напряжение покажет второй вольтметр.

Решим задачу, выбрав в качестве эквивалентного генератора генератор тока:

Параметрами генератора тока являются его задающий ток J_экв. И внутренняя проводимость G₀. Задающий ток может быть измерен или определен как ток короткого замыкания: J_экв.=J_к.з.=1,5(A).

Внутренняя проводимость может быть определена из опыта холостого хода, т.к. в этом опыте ток генератора замыкается только через G₀:

Эквивалентная проводимость цепи при подключенном вольтметре равна:

Напряжение между зажимами генератора при подключении второго вольтметра:

 

Контрольные вопросы.

1. Изложить суть метода взаимности.

2. В каких случаях целесообразно применить метод взаимности?

3. Привести пример применения теоремы компенсации.

4. Изложить суть метода эквивалентного источника для расчета цепей.

5. Когда наиболее целесообразно применять метод эквивалентного источника?