Режимы резонанса в электрических цепях

Как и в физике, режим резонанса в электрической цепи наступает при совпадении частот колебаний – частоты внешнего воздействия и частоты собственных колебаний устройства (в данном случае электрической цепи). Но в электротехнике есть свои особенности.

В электрической цепи должны быть емкости (конденсаторы) C и индуктивные катушки L.

Резонанс в электрической цепи имеет место, если входное сопротивление цепи , т.е. если входное сопротивление носит активный характер, а это значит, что на резонансной частоте на входе в схему ток и напряжение совпадает по фазе.

Кроме того, в момент резонанса входное сопротивление может быть равно нулю (это идеальный случай) или минимальное, а может быть равно бесконечности (опять идеальный случай) или очень большое, максимальное. Эти два случая разделили:

- резонанс напряжений,

- резонанс токов.

Почему так назвали, увидим из рассмотрения конкретных схем.

 

Резонанс напряжений.

 

Этот вид резонанса бывает в цепях, где имеется последовательное соединение индуктивности L и емкости C.

Комплексное сопротивление данной схемы

Известно, что и зависят от частоты, значит на какой-то частоте, назовем ее резонансной f₀, эти сопротивления будут равны, а входное сопротивление контура будет равно R.

Эту частоту легко определить

На частоте f₀ X=X_L-X_C=0.

Рассмотрим, что происходит в этот момент в схеме. Допустим, что U(t)=U_msinw₀t, тогда ток

Так как на f₀ X_L=X_C получаем

Что же происходит в нашем контуре на резонансной частоте f₀?

Известно, что энергия в катушке равна энергия в конденсаторе

При резонансе X_L=X_C, значит W_Lm=W_Cm. Значит вся энергия источника расходуется в активном сопротивлении, а в идеале, когда R=0 и контур отключить от источника и замкнуть, происходит обмен энергией между катушкой и конденсатором бесконечно долго. Но как только появилось активное сопротивление (а у катушки оно всегда есть). За счет потерь Джоуля – Ленца (I²R) происходит уменьшение энергии, причем чем меньше R, тем дольше идет процесс. Поэтому в резонансном контуре ввели понятие добротности Q.

Добротность представляет собой отношение максимальной энергии W_Lm=W_Cm к потерям в контуре P=I²R.

Вес контура условно разделили на высокодобротные Q³10 или X_L0=X_C0³R×10 и низкодобротные Q<10.

Кроме этого, на резонансной частоте f_p имеем X_L=X_C,

Видно, что в высокодобротных контурах, напряжение на катушке и емкости в величину добротности превышает входное напряжение. Поэтому резонанс при последовательном соединении L и C назвали резонансом напряжений, и этот контур часто используется как усилитель напряжения.

Рассмотрим поведение различных параметров контура в зависимости от частоты. Зависимость от частоты тока, напряжения, сопротивлений называется амплитудо-частотными характеристиками (АЧХ), зависимость фазы, угол сдвига фаз от частоты называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ).

 

Максимум U_C и U_L наступают при

 

 

где (величина, обратная добротности).

Векторные диаграммы при

 

 

 

 

При рассмотрении резонансов используется понятие полоса пропускания-это полоса частот, на границах которых мощность, поглощаемая контуром, в два раза меньше мощности, поглощаемой контуром, на резонансной частоте.

На частотах, граничных полосе пропускания, ток или напряжения изменяются в раз, а .

Очень часто интересно поведение различных параметров контура в узкой полосе частот вблизи резонансной частоты.

Имеем –

резонансная частота -

абсолютная расстройка -

относительная расстройка -

обобщенная расстройка (кси) –

(при этом все расстройки положительны, при f>f₀, отрицательны при f < f₀, при очень малых расстройках (), ).

Теперь можно построить характеристики I, Z, j в зависимости от .

При этом можно видеть, что зависимости от относительной расстройки различаются по величине добротности Q, а зависимости от обобщенной расстройки одинаковы для всех контуров.

 

Чем больше добротность, тем острее кривая и уже полоса пропускания.

Для полосы пропускания можно видеть:

- абсолютная полоса пропускания,

- относительная полоса пропускания.

На границах полосы пропускания .

Как отмечалось, контур резонанса напряжений часто используется как усилитель напряжения.

Повышенное напряжение чаще снимается с емкости.

Заменив параллельное соединение C и R_Н последовательным, получим схему:

где . (для высокодобротных контуров R₁<<X_L=X_C; R_Н>>X_C).

При этом добротность контура с R_Н несколько меньше добротности контура.

Выводы по резонансу напряжений:

- этот вид резонанса имеет место при последовательном соединении R, L, C; резонансная частота , условие резонанса X_L=X_C;

- напряжения на L и C примерно равны U_L=U_C=QU и зависят от величины добротности контура Q=X_L/R, при Q³10 имеем хорошие резонансные кривые и узкую полосу пропускания.

 

Резонанс токов.

Этот вид резонанса бывает в электрических цепях, где есть параллельное соединение индуктивности L и емкости C.

Схема а) – идеальная, остальные наиболее распространены, рассмотрим схему г).

Как известно, при резонансе входное сопротивление схемы носит активный характер и угол сдвига фаз равен нулю

Найдем входное сопротивление нашей схемы.

 

где

Легче найти Z_вх через проводимость.

где

 

 

Условие резонанса в цепи

При R₁‹‹X_L, R₂‹‹X_C (высокодобротный контур)

Если φ=0, то b=0.

или

при R₁‹‹X_L, R₂‹‹X_C

Из условия b=0 найдем резонансную частоту

Анализируя выражение ω_p, можно видеть:

- в высокодобротных контурах (R₁‹‹X_L, R₂‹‹X_C) ω_p=ω₀ (частота резонансов токов совпадает с частотой резонанса напряжений);

- в низкодобротных контурах (R₁≥X_L, R₂≥X_C) резонанс токов наступает при ω_p или его нет.

Далее рассматриваем высокодобротные контура. На резонансной частоте ω_p=ω₀ имеем:

Видно, что на резонансной частоте проводимость g₀ очень мала, а резонансное входное сопротивление контура R_p очень велико (в идеальном случае R_p=¥).

Как и в контуре резонанса напряжений, в данном контуре происходят колебания энергии между магнитным полем катушки и электрическим полем конденсатора, в идеальном контуре, при отключении его от источника, эти колебания будут происходить бесконечно, реально они затухают, но тем медленнее, чем выше добротность контура.

В момент резонанса на w_p=w₀ имеем

Векторная диаграмма будет:

В идеальном контуре

В реальном высокодобротном контуре мало, , поэтому этот вид резонанса и назвали резонансом токов.

Часто данный контур питают от источника тока, напряжение на контуре, в этом случае, может быть большим.

Видно, что в высокодобротном контуре (R₁<<X_L, R₂<<X_C) U_аб, I_L и I_C – большие величины, j_L и j_C – близки к ±90°.

Рассмотрим поведение параметров контура резонанса токов при расстройках

 

Векторные диаграммы при расстройках

Полоса пропускания контура с резонансом токов – полоса частот, на границах которой ток I увеличивается, а напряжение уменьшается в раз.

Часто контур резонанса токов применяется с шунтирующим сопротивлением

Видим, что в этом случае, чем больше R_ш, тем больше Q_э (ближе к Q), т.е. нужен источник тока с малой внутренней проводимостью (большим внутренним сопротивлением).

Выводы по резонансу токов:

- этот вид резонанса имеет место при параллельном соединении L и C; в высокодобротном контуре ; условие резонанса в=0;

- в высокодобротном контуре тока в ветвях в величину добротности превышают ток в неразветвленной части схемы;

- низкоомные сопротивления ветвей контура (R₁+R₂=R) преобразуются в высокоомное входное сопротивление контура , при помощи R_ш его можно регулировать.

 

Индуктивно связанные электрические цепи