Кумулятивные показатели распределения семей по среднедушевому доходу

 

Среднедушевой доход, грн.	Число семей	Общая сумма среднемесячных доходов
интервальное распределение	диск- ретное, х	кол-во семей, f	частость, %, fотн,	накоплен- ная частость, %, fcum,	гри- вен, xf	в % к итогу xотн	накоплен- ный % к итогу, xcum
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
130 - 150			5,0			3,42	3,42	0,00171	0,00171
150 - 170						7,82	11,24	0,01124	0,00782
170 - 190						17,6	28,84	0,05768	0,0352
190 - 210						24,45	53,29	0,133225	0,061125
210 - 230						16,1	69,39	0,104085	0,02415
230 - 250			12,5	87,5		14,67	84,06	0,105075	0,0183375
250 - 270			12,5			15,94		0,125	0,0019925
Итого:	-			-			-	0,538015	0,1500335

Таблица 5.6

Вспомогательная таблица для расчета теоретических частот

Нормального распределения

 

Средне душевые доходы, грн.	Число семей, f	x			Теоретические частоты, fтеор	Округленные частоты, fтеор		Накопленные частоты	Разность между накопленными фактическими и теоретическими частотами
фактически	теоретически
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11 = 9 - 10
130 - 150			-1,937	0,062	7,4462	7,4	0,9135		7,4	- 2,6
150 - 170			-1,336	0,1646	19,768	19,8	0,00202		27,2	- 2.8
170 - 190			- 0,7357	0,3040	36,63	36,6	0,3158		63,8	6,2
190 - 210			0,1351	0,3954	47,49	47,5	0,1316		111,3	8,7
210 - 230			0,4655	0,3585	43,056	43,0	3,93		154,3	4,3
230 - 250			1,066	0,240	29,06	29,1	0,578		183,4	- 8,4
250 - 270			1,667	0,1000	12,06	12,1	13,75		195,5	4,5
Итого						195,5'	19,62

Этапы решения:

- определяем теоретические частоты нормального закона распределения () по формуле: ; -нормированное отк-лонение; = 204,5 грн; = 33,3. (Все промежуточные расчеты представлены в таблице 5.6). Общий множитель ;

- по таблицам t- распределения (приложение 3) определяем значение плотности: ,при этом . Например, для ; для ; и т.д. Эти значения заносятся в графу 5 таблицы 5.6;

- определяем теоретические частоты () и заносим их в графу 6, а округленные – в графу 7 таблицы 5,6; сумма теоретических частот , т.е. несколько меньше 200, что объясняется округлением цифр при расчете f (t) и f _теор.

Для оценки степени расхождения эмпирического и теоретического распределения используется критерий Пирсона (промежуточные расчеты представлены в графе 8 табл. 5.6) .

Определяем табличное значение критерия, т.е. по заданной вероятности ( или 0,9) и числу степеней свободы: 3= (см. приложение 4).

Т.к. , то гипотеза о соответствии эмпирического распределения нормальному закону распределения не подтверждается.

Для проверки этой же статистической гипотезы можно использовать критерий Романовского и критерий Колмогорова.

- Критерий Романовского: . Если , то гипотеза о соответствии эмпирического распределения нормальному не принимается.

- Критерий Колмогорова: .

- распределения определяет вероятность, т.е. = = 0,15 (приложение 5).

 

Если - значительна, т.е. близка к 1, то расхождения между эмпирическим и нормальным распределением несущественны. В нашем примере расхождения существенны, что подтверждает сделанные выше выводы.

3. Построим графики эмпирического и теоретического распределения семей по среднедушевым доходам (рис.5.4):

- гистограмма распределения

- полигон распределения

- теоретическая линия нормального распределения

Рис.5.4. Распределение семей по среднедушевому доходу

 

Пример 5. Налоговой инспекцией одного из районов города проверено 172 коммерческих киоска и в 146 из них выявлены финансовые нарушения. Определите среднее значение, дисперсию и среднее квадратическое отклонение альтернативного признака, т.е. доли киосков, у которых выявлены финансовые нарушения.

Решение

Определяем долю коммерческих киосков, у которых выявлены финансовые нарушения: . Тогда доля киосков, у которых отсутствуют финансовые нарушения, будет: .

Среднее значение альтернативного признака: . Дисперсия альтернативного признака составит: = 0,85 · 0,15 = 0,128, а среднее квадратическое отклонение: .

 

Пример 6. Имеется следующая аналитическая группировка зависимости средней заработной платы рабочих от возраста.

 

Группы ра-бочих по возрасту,лет	Число рабо- чих, fi	Средняя заработная плата, грн, у
до 20,0		280, 320, 360, 350, 290
20,0 – 30,0		420, 400, 510, 490, 380, 440, 480,500
30 и старше		570, 600, 680, 630, 560, 440, 620
всего

 

Определите: 1) общую, межгрупповую и среднюю из внутригрупповых дисперсий; 2) проверьте правило сложения дисперсий.

 

Решение

1. Общая дисперсия по заработной плате рассчитывается по формуле простой дисперсии: .

где средняя заработная плата всех рабочих;

грн

13450

Межгрупповая дисперсия:

11700,

где - средняя зарплата по i -группе, представлены в таблице.

Средняя из внутригрупповых дисперсий. Вначале рассчитываем дисперсии по каждой группе:

;

2025;

Тогда средняя из внутригрупповых дисперсий будет:

.

2. Правило сложения дисперсий: = + ;13450 = 11700 + 1750.