Важное место в начертательной геометрии занимает решение позиционных задач. Рассмотрим способы решения позиционных задач с участием кривых линий и поверхностей. Эти задачи называют обобщенными. Рассмотренные ранее позиционные задачи с участием прямых линий и плоскостей являются их частным случаем.
Эту задачу решают в три этапа которые повторяют в обобщенном виде этапы построения точки пересечения прямой с плоскостью (рис. 1).
Алгоритм построения:
1. Заключаем кривую во вспомогательную поверхность Г: а Г;
2. Строим линию m пересечения данной поверхности и
вспомогательной m = Ф Г.
3. Отмечаем точки L1 пересечения данной линии (а) и построенной
(m), которые являются искомыми точками пересечения: L = a m.
Число точек пересечения зависит от вида поверхности, линий, их взаимного положения.
Задача: Найти точку пересечения отрезка прямой АВ с поверхностью конуса Q. При решении этой задачи прямую АВ надо заключить в плоскость, но плоскость может быть проецирующей или плоскостью общего положения. Рассмотрим решение задачи, если вспомогательная плоскость Г проецирующая, Г П2 (Рис. 6 а).
Алгоритм построения:
1Заключаем AB во фронтально-проецирующую плоскость Г. Г АВ, Г П2. Отмечаем на чертеже Г2=А2В2;
2Г Q = m, m – эллипс, m2 = А2В2, m1 находим из условия принадлежности m поверхности конуса (рис. 6 б);
3Отмечаем точки пересечения m и АВ, m АВ = СD, m1 А1В1 = С1D1, C2D2 A2B2 (рис. 6 в)
4С (С1С2), D (D1D2) – искомые точки.
Эта задача решается проще если через вершину конуса S и отрезок АВ провести плоскость общего положения Г и продолжить ее до пересечения с плоскостью основания а. Эта плоскость пересечет конус по двум прямолинейным образующим, которые в свою очередь пересекут отрезок АВ в искомых точках (рис. 7).
Алгоритм построения:
1. Заключаем АВ в плоскость общего положения Г(S, A, B). S2E2F2– фронтальная проекция плоскости Г, S1E1F1 – горизонтальная (рис. 8 а).
2. Г Q = m11, m21. Проводим сначала m11 и m21, затем m12, и m22 (рис. 8 б).
3. Отмечаем L11, L21 и L12, L22: L11 = A1B1 m11, L21 =m21 A1B1, L12 =m12 A2B2, L22 =m22 A2B2, L1(L11, L21) и L2(L12, L22) – искомые точки.
Эта задача является обобщением рассмотренной ранее задачи на построение линии пересечения двух плоскостей. Ее решают путем введения вспомогательных поверхностей посредников. Построение линии пересечения двух поверхностей надо выполнять по приведенному ниже алгоритму:
1Выбрать вспомогательную поверхность Г таким образом, чтобы она пересекала заданные поверхности Q и Л (рис. 9);
2Найти линии пересечения вспомогательной поверхности Г1 с заданными Q и Л, Г Q = m1, Г1 Л = n1;
3Определить точки пересечения полученных линий, m1 n1 = K1, L1;
4Выбрать вторую вспомогательную поверхность Г2;
5Найти линии пересечения Г2 Q и Л; Г2Q=m2; Г2 Л=n2
6Отметить точки пересечения m2 и n2, m2 n2 = K2, L2.
Способ секущих плоскостей
Сущность метода состоит в том что в качестве вспомогательных поверхностей выбирают плоскости, которые могут занимать общее положение в пространстве, быть проецирующими или плоскостями уровня. Наиболее широко используются плоскости уровня – фронтальные и горизонтальные. Чаще всего плоскости пересекают заданные поверхности по прямым и окружностям частного положения, поэтому построение их проекций не вызывает особых затруднений.
Решение задачи:
1Находим опорные точки. Главные меридианы пересекаются, в точке 1, 12 – ее фронтальная проекция.
2Находим 11, 11 1.
3Основание конуса и линия обрыва сферы лежат в горизонтальной плоскости Г1(Г12) и пересекаются в точках 2 (21, 22) и 21(211, 212) (рис. 10 а).
4Найдем точки на экваторе m1(m11, m12). Для этого проводим через m1 вспомогательную плоскость Г2(Г22), которая пересекает конус по окружности n1(n11, n12) (рис. 10 б).
5Проводим n11.
6Отмечаем горизонтальные проекции 31 и 311 точек пересечения экватора сферы с конусом: 311, 31 = n11 m11.
7Находим 32 = 312 Г22.
8Для нахождения промежуточных точек берем горизонтальную плоскость Г3(Г32). Она пересекает конус по окружности n2(n21, n22), cферу по окружности окружности m2(m21, m22) (рис. 10 в).
9Проводим m21 и n21.
10Окружности m21 и n21 пересекаются в точках 41 и 411. Отмечаем их.
11Находим фронтальные проекции, 42, 412 Г32, причем 42 412.
12Другие точки линии пересечения находим аналогично точкам 4(41, 42) и 41(411, 412).
13Определяем видимость проекции поверхностей (рис. 10 г).
Способ сфер
При построении линии пересечения двух поверхностей, несущих на себе каркасы окружностей в плоскостях частного пложения (плоскостях уровня или проецирующих), когда оси данных поверхностей не параллельны, в качестве вспомогательных поверхностей можно рекомендовать сферы. Сферы надо выбирать так, чтобы они пересекали заданные поверхности по окружностям. Применение метода сфер основано на свойстве соосных поверхностей.
Поверхности называются соосными, если они имеют общую ось вращения. Точки пересечения их меридианов при вращении вокруг оси i описывают окружности, которые являются линиями пересечения соосных поверхностей
Этот метод применяется в том случае, если данные поверхности являются поверхностями вращения, оси вращения пересекаются и параллельные одной плоскости проекций.
Методом сфер находят проекцию линии пересечения на той плоскости проекций, которой параллельны оси вращения исходных поверхностей. Видимая и невидимая части линии пересечения совпадают, а потому порядок проекции линии пересечения в два раза меньше порядка самой линии пересечения.
Другую проекцию линии пересечения находят по принадлежности ее одной из исходных поверхностей. Ее порядок в общем случае равен порядку линии пересечения.
Алгоритм построений:
1Найти точку пересечения осей вращения – центр вспомогательных сфер.
2Обозначить точки пересечения главных меридианов исходных поверхностей.
3Определить радиус наибольшей вспомогательной сферы Гmax, Его величина равна расстоянию от центра до наиболее удаленнной от него точки пересечения главных меридианов.
4Найти радиус наименьшей сферы, провести очерк сферы Гmin. Она касается по окружности одной исходной поверхности и пересекает по двум окружностям другую поверхность. Построить проекции этих окружностей (это отрезки прямых) и отметить точки их пересечения.
5Взять промежуточную сферу. Она пересекает исходные поверхности окружностям. Построить проекции окружностей и отметить их точки пересечения. Проекции окружностей – отрезки прямых.
Теорема Монжа.
Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания. В соответствии с этой теоремой цилиндры одинакового диаметра имеют общую касательную сферу, пересекаются по двум эллипсам m(m2) и n(n2)
