Вплив симетрії форми кривих несинусинусоїдного струму (напруги) на значення коефіцієнтів розкладу в ряд Фур'є

Нехай треба знайти струм у електричному колі від дії періодичної несинусоїдної ЕРС:

 

де Emn - амплітуда n-тої гармоніки.

 

Якщо коло лінійне, тобто параметри R, L, M, C незмінні, то струм у колі можна знайти методом накладання, підсумовуючи струми, які створюються кожною із складових ЕРС окремо:

 

де

 

z(0) - опір кола постійному струму;

 

Z(n) – повний опір кола на частоті n. Кут визначається як арктангенс відношення реактивного опору кола до активного опору на частоті n.

 

У тому випадку, коли коло складається з послідовно з’єднаних елементів R, L, C повний опір та фазовий кут навантаження будуть такими:

 

 

Очевидно, що для = 0 z(0) -> тобто постійний струм не проходить (С – роздільний конденсатор).

З підвищенням номера гармоніки індуктивний опір зростає прямолінійно, а ємнісний опір 1/(nС) спадає за гіперболою. Тому у колі з послідовно з’єднаними R та L вищі гармоніки струму виражені слабше, ніж у ЕРС джерела живлення, тобто індуктивність згладжує криву струму, наближаючи її до синусоїдної. При послідовному з’єднанні R та C, навпаки, вищі гармоніки струму можуть досягати значень більших ніж у ЕРС джерела.

 

У змішаному індуктивно-ємнісному колі може спостерігатися явище резонансу для n-тої гармоніки, тобто nL = 1/(nC). Такі кола використовують як резонансні фільтри.

 

Наприклад:

 

 

На опорі R (схема а), буде виділятися лише n-та гармоніка, а всі інші не будуть проходити (у ідеальному випадку).

У колі (схема б) до опору R проходять усі гармоніки за винятком n-тої, для якої опір LC-контуру буде нескінченний. Це так званий фільтр-«пробка».

У більш складних колах можливе придушення гармонік з певними номерами (селективні фільтри).

Розрахунок складних кіл при несинусоїдних впливах звичайно проводять у комплексній формі. При цьому ЕРС, струми та напруги зображують у вигляді:

Комплексна форма розрахунку періодичного несинусоїдного струму (напруги) полягає у знаходженні комплексних зображень струмів (напруг), що відповідають заданим комплексним зображенням ЕРС для різних значень n (різних гармонік).

Необхідно пам’ятати, що у загальному випадку у колі, яке містить R, L, C-елементи, реактивний та активний опори кола є функціями частоти n.

Для кожної окремої гармоніки можна побудувати векторну діаграму, але відкладати на векторній діаграмі струми та напруги різних частот, а тим більше підсумовувати вектори для різних частот неприпустимо, тому що кутові швидкості обертання цих векторів різні. Це дуже суттєва помилка! Підсумовувати можна тільки миттєві значення і в ніякому разі не комплексні зображення.

Підкреслимо, що ряд Фур’є дає лише наближене значення шуканих величин оскяльки враховують лише скінчену кількість складових (у більшості випадків не більше п’яти). Точне значення у загальному випадку виходить у вигляді нескінченного ряду. Існують спеціальні (операторні) методи (окремих складових; різницевих рівнянь та ін.), які дозволяють отримати розв’язок у замкненій формі (скінченої кількості складових).