Дослідження екстремальних властивостей

Задача 5.5.1. У прямокутний трикутник з гострим кутом та прямим кутом вписано правильний трикутник так, що його вершини лежать на різних сторонах даного трикутника. При якій умові сторона правильного трикутника буде найменшою?

Розв’язання. Нехай – правильний трикутник, вписаний у даний трикутник (рис. 26). Вважатимемо . Тоді . Точку можна розглядати, як результат повороту точки навколо точки на кут проти годинникової стрілки. Тоді точку можна одержати внаслідок перетину відрізків та , де - це образ відрізка при повороті на проти годинникової стрілки навколо центра повороту . Оскільки кут , то точка . Очевидно, що – правильний і . Знайдемо висоту у : . Із прямокутного трикутника сторона вписаного трикутника дорівнює . Розглянемо функцію . Вона набуває свого найменшого значення при = .

Отже, якщо , тобто , то вписаний правильний трикутник буде шуканий.

Задача 5.5.2. Всередині трикутника знайти точку , для якої сума квадратів відстаней від неї до сторін трикутника мінімальна.

Розв’язання. Нехай відстані від точки до сторін , будуть відповідно (рис. 27). Тоді

,

де - площа даного трикутника. Сума квадратів відстаней від точки до сторін трикутника буде дорівнювати . В силу нерівності Коші - Буняковського виконується співвідношення

,

причому знак рівності виконується при умові . Одержуємо, що

.

Права частина є сталим числом. Тому ліва частина прийматиме найменше значення, коли виконується знак рівності, тобто при умові . Із цих співвідношень та рівності остаточно дістаємо

.

Задача 5.5.3. Дано дві паралельні прямі та точка між ними. Побудувати прямокутний трикутник з вершиною прямого кута в точці та вершинами на заданих паралельних прямих, площа якого мінімальна.

Розв’язання. Проведемо через точку перпендикуляр до паралельних прямих (рис. 28). Нехай . Трикутники і подібні. Тому або , звідки . Оскільки і , то . Отже, площа буде найменшою, коли найменшою буде сума . Добуток є сталим числом , тому сума буде найменшою при , тобто при . Але якщо , то . Тепер трикутник легко будується.

Задача 5.5.4. Знайти найкоротший відрізок, який ділить рівносторонній трикутник із стороною на дві рівновеликі фігури.

Розв’язання. Нехай трикутник рівносторонній із стороною . Позначимо шуканий відрізок . Нехай , (рис. 29). Тоді площа . Оскільки площа всього трикутника дорівнює , то з умови отримуємо, що або . За теоремою косинусів або . Очевидно, що відрізок буде найменшим, коли найменшим буде значення виразу . Добуток обох доданків є сталим і , тому найменше значення суми буде при , тобто при . При цьому значенні і .

Застосування похідної

Задача 5.6.1. У правильну чотирикутну піраміду з ребром основи і висотою вписана правильна чотирикутна призма так, що її нижня основа лежить всередині основи піраміди, а вершини верхньої основи – на бічних ребрах піраміди. Знайдіть найбільшу площу бічної поверхні таких призм.

Розв’язання. Нехай правильна чотирикутна призма вписана в піраміду так, як показано на рисунку 30. Нехай сторона основи призми дорівнює , а її висота .З подібності трикутників та отримуємо , а з подібності трикутників та випливає співвідношення . З пропорції знаходимо . Оскільки площа бічної поверхні призми дорівнює , то маємо .

Одержаний квадратний відносно тричлен з від’ємним старшим коефіцієнтом досягає свого найбільшого значення в точці . При цьому максимальна площа бічної поверхні буде .

Задача 5.6.2. Навколо правильної трикутної призми з об’ємом описаний циліндр. Знайдіть найменшу площу повної поверхні таких циліндрів.

Розв’язання. Нехай висота призми , сторона основи , радіус кола, описаного навколо основи (рис. 31). Оскільки радіус кола, описаного навколо правильного трикутника, дорівнює , то, відповідно до умови, , звідки . Тоді площа поверхні циліндра . Розглянемо функцію , . Оскільки її похідна перетворюється в 0 при і у цій точці функціяприймає, як легко встановити, найменше значення, то є найменшим значенням площі поверхні циліндра.

У деяких випадках для знаходження найбільшого і найменшого значення при розв’язанні геометричних задач не завжди зрозуміло, в яких межах змінюється значення величини, яка нас цікавить. Тоді зручно цю величину виразити через інші величини.

Задача 5.6.3. Плоска фігура складається з прямокутника і рівностороннього трикутника. Визначити її розміри так, щоб при даному периметрі площа була найбільшою (у величину периметра не враховується спільна сторона прямокутника і трикутника).

Розв’язання. Нехай – сторона трикутника, – сторона прямокутника (рис. 32). Тоді периметр , звідки .Очевидно, що площа всієї фігури буде

= =

= .

Значення , при якому площа буде найбільшою, визначаємо за допомогою похідної у виді . Тоді . Це і є розміри фігури, при яких при заданому периметрі площа буде найбільшою.

Задача 5.6.4. Який із всіх рівнобедрених трикутників, вписаних у дане півколо так, щоб одна із рівних сторін лежала на діаметрі, а друга була б хордою, має найбільшу основу?

Розв’язання. Нехай шуканим є трикутник і , , (рис. 33), - радіус заданого півкола з діаметром .Проведемо . Нехай . Тоді і . Тепер знаходимо, що . З прямокутного трикутника отримуємо , а із рівнобедреного трикутника за теоремою косинусів маємо .

Розглянемо функцію , визначену на інтервалі . Оскільки її похідна перетворюється в 0 при і у цій точці приймає найбільше значення, то знайдене значення є шуканим та вказує, як побудувати трикутник.