Произведение матрицы ХТ на вектор-столбец W рассчиты-

вается следующим образом:

.

Итак, мы рассчитали произведение матриц ХТ ⋅ Х и век-

тор-столбец (ХТ ⋅ W). Однако в зависимости

нет матрицы (ХТ ⋅ Х), а фигурирует ее обратная матрица, т. е.

(XT ⋅ X)-1, которую необходимо найти.

Алгоритм вычисления обратной матрицы

Определяем, квадратная ли исходная матрица. Если

Она квадратная, то переходим к п. 3.2.2, если нет, то обратной

Матрицы не существует, так как она является вырожденной.

Вычисляем определитель исходной матрицы. Если

Определитель равен 0, то обратной матрицы не существует;

Если он не равен 0, то переходим к п. 3.2.3.

Вместо каждого элемента исходной матрицы подстав-

Ляем его алгебраическое дополнение.

Полученную матрицу транспонируем.

Элементы полученной матрицы делятся на определи-

тель Δ (п. 3.2.2). Получаем обратную матрицу.

Проверяем работу алгоритма на практике:

Матрица

Квадратная, следовательно, обратная матрица существует.

3.2.2. Вычисляем ее определитель:

Δ = = 0,07 ⋅ (+1) ⋅ + 2,03 ⋅ (-1) ×

× + 6,08 ⋅ (+1) ⋅ = 365,37.

Определитель матрицы не равен 0, следовательно, можно

Вычислить обратную матрицу.

Каждый элемент исходной матрицы заменяем его ал-

Гебраическим дополнением.

Получаем присоединенную матрицу

Полученную матрицу транспонируем; но, так как она

Симметричная относительно ее главной диагонали, то она запи-

Шется как исходная

Каждый элемент полученной матрицы делим на оп-

Ределитель, который мы рассчитали ранее. Получаем обрат-

ную матрицу:

Подставив полученные значения в зависимость

Получаем коэффициенты или параметры модели

76,1 ⋅ 0,126 + 0,129 ⋅ (-36,782) + 2,541 ⋅ (-0,04) = 4,74;

76,1 ⋅ 0,13 + 0,266 ⋅ (-36,782) + 2,541 ⋅ 0,09 = 0,34;

76,1 ⋅ (-0,04) + (-0,09) ⋅ (-36,782) + 2,541 ⋅ 0,195 = 0,76.

Рассчитанное уравнение будет иметь вид:

Искомая аналитическая зависимость связывает срок оку-

Паемости с объемом инвестиций и внутренней нормой доход-

Ности. Далее необходимо сравнить по вкладу в значения срока

Окупаемости рассматриваемых факторов. Для этого фактору

x 3 присвоим значение 0,38 (центр эксперимента), а фактору x 2

значение: -0,12 и рассчитаем значение W и ΔW.

x 3 = 0; x 2 = -1.

= 4,74 + 0,34 ⋅ (-1) + 0,76 ⋅ 0 = 4,4.

x 3 = 0; x 2 = 1.

= 4,74 + 0,34 ⋅ 1 + 0,76 ⋅ 0 = 5,08.

ΔW = 5,08 − 4,4 = 0,68.

Приращение результирующего фактора (срок окупаемос-

Ти) составит 0,68.

Приращение произошло за счет x 2 — объема инвестиций.

x 2 = 0; x 3 = -1.

= 4,74 + 0,34 ⋅ 0 + 0,76 ⋅ (-1) = 3,98.

x 2 = 0; x 3 = 1.

= 4,74 + 0,34 ⋅ 0 + 0,76 ⋅ 1 = 5,5.

ΔW = 5,5 − 3,98 = 1,52.

Приращение произошло за счет x 3 — внутренней нормы

Доходности.

Из полученных значений приращений, связанных с от-

Дельными факторами, можно сделать вывод о том, что на зна-

Чение срока окупаемости инвестиций наиболее существенное

Влияние оказывает такой фактор, как внутренняя норма до-

Ходности.

Адекватна ли исходная информация?

Проверка адекватности рассчитанной модели

Проверим адекватность модели с использованием коэф-

Фициента множественной корреляции.

Составим таблицу,

Где W — исходные данные из каталога проектов (срок окупае-

Мости);

— данные, рассчитанные с использованием модели про-

Екта (оценка срока окупаемости).

= 4,74 + 0,34x2 + 0,76 x 3;

= 4,74 + 0,34 ⋅ 1 + 0,76 ⋅ 0,49 = 5,45;

= 4,74 + 0,34 ⋅ (-0,61) + 0,76 ⋅ 0,74 = 5,1;

= 4,74 + 0,34 ⋅ (-0,61) + 0,76 ⋅ 1 = 5,29;

= 4,74 + 0,34 ⋅ (-0,73) + 0,76 ⋅ (-0,02) = 4,48;

= 4,74 + 0,34 ⋅ (-1) + 0,76 ⋅ (-0,53) = 4;

= 4,74 + 0,34 ⋅ (-0,47) + 0,76 ⋅ (-0,62) = 4,1;

= 4,74 + 0,34 ⋅ (-0,66) + 0,76 ⋅ 0,49 = 4,89;

= 4,74 + 0,34 ⋅ (-0,97) + 0,76 ⋅ (-0,36) = 4,14;

= 4,74 + 0,34 ⋅ (-0,74) + 0,76 ⋅ (-0,28) = 4,28;

= 4,74 + 0,34 ⋅ (-0,52) + 0,76 ⋅ (-0,28) = 4,35;

= 4,74 + 0,34 ⋅ 0,57 + 0,76 ⋅ 0,74 = 5,5;

= 4,74 + 0,34 ⋅ (-0,49) + 0,76 ⋅ 0,74 = 5,14;

= 4,74 + 0,34 ⋅ (-0,25) + 0,76 ⋅ (-0,02) = 4,64;

= 4,74 + 0,34 ⋅ (-0,45) + 0,76 ⋅ (-1) = 3,8;

= 4,74 + 0,34 ⋅ (-0,85) + 0,76 ⋅ (-1) = 3,7;

= 4,74 + 0,34 ⋅ (-1) + 0,76 ⋅ (-0,02) = 4,4.

Сопоставительный анализ срока окупаемости и его оценки

От объема инвестиций и внутренней нормы доходности пред-

ставлен в табл. 10.17.

Если бы модель идеально отражала данные из каталога

Проектов, то эту ситуацию была бы представить в виде графи-

ка. (рис. 10.4).

На практике модель искажает реальные данные. Реаль-

Ные значения результирующего фактора образуют некоторое

Облако точек относительно биссектрисы угла графика зависи-

Мости реальных и модельных данных. В качестве показателя,

характеризующего несоответствие “модельного” и реального

Результатов, для отдельного результата используют расстоя-

Ние от биссектрисы до соответствующей точки.

Несоответствие реальных и “модельных” данных по всему

Массиву оценивают с помощью коэффициента множественной

Корреляции

Где — среднее квадратическое отклоне-

Ние от оценки срока окупаемости;

Таблица 10.17

Таблица оценок срока окупаемости проектов

№ проекта W x 2 x 3

1 5 1 0,49 5,45

2 4,2 -0,61 0,74 5,1

3 6 -0,61 1 5,29

4 9,2 -0,73 -0,02 4,48

5 6 -1 -0,53 4

6 9,6 -0,47 -0,62 4,1

7 2,7 -0,66 0,49 4,89

8 4,8 -0,97 -0,36 4,14

9 2,5 -0,74 -0,28 4,28

10 3,3 -0,52 -0,28 4,35

11 7,8 0,57 0,74 5,5

12 3,6 -0,49 0,74 5,14

13 2,4 -0,25 -0,02 4,64

14 2,4 -0,45 -1 3,8

15 3,6 -0,85 -1 3,7

16 3 -1 -0,02 4,4

— среднее квадратическое отклоне-

Ние от математического ожидания срока окупаемости;

— математическое ожидание срока окупаемости.

Рассматриваем необходимые значения для определения

адекватности модели:

σ2

Δ = ⋅ (0,2 + 0,8 + 0,5 + 22,3 + 4 + 30,3 + 4,8 + 0,44 +

+ 3,17 + 1,1 + 5,29 + 2,37 + 5,02 + 1,96) = = 5,62.

σ2

w = ⋅ (0,06 + 0,3 + 1,54 + 19,7 + 1,54 + 23,4 + 4,2 +

+ 0,002 + 5,1 + 2,13 + 9,24 + 1,35 + 5,57 + 5,57 + 1,35 +

+ 3,1) = =5,61.

W

0 2 4 6 8 10

Рис. 10.4. Зависимость реальных и модельных данных срока

Окупаемости инвестиций