Записываем необходимое условие экстремума функции

четырех независимых аргументов:

(10.85)

Определяем частные производные и получаем следующую

систему:

(10.86)

После преобразовании (10.86) получаем систему нормальных

уравнений для определения искомых параметров а 1, а 2, а 3, b.

(10.87)

Систему (10.87) можно легко решить, используя, например,

Метод Гаусса или одну из его модификаций.

Приведем некоторые часто используемые криволинейные

многофакторные модели:

Степенная

; (10.88)

Экспоненциальная

; (10.89)

Гиперболическая

. (10.90)

Модели (10.88) и (10.89) приводятся к линейной многофак-

торной модели логарифмированием:

. (10.91)

,

а так как ln e = 1, то получаем

. (10.92)

Модель (10.90) сводят к линейной с помощью подстановки:

. (10.93)

Модели (10.91), (10.92),(10.93) являются линейным много-

Факторными, которые мы рассматривали в подразд. 10.5.

Кратко коснемся вопроса выбора формы модели. Слож-

Ность и многообразие рассматриваемых природных и об-

Щественных явлений предопределяет большое количество

Моделей, используемых для их анализа. Это значительно ос-

Ложняет выбор оптимальной зависимости. В случае парной

Криволинейной регрессии выбор модели, как правило, осу-

Ществляется по расположению данных наблюдений на поле

Корреляции. Но встречаются случаи, когда расположение

Значений наблюдений на корреляционном поле приближенно

Соответствует нескольким функциональным зависимостям, и

Возникает вопрос выбора из них наилучшей. Еще более слож-

На ситуация для множественной криволинейной регрессии,

Так как исходные данные наблюдений наглядно не представ-

Ляются. Для того чтобы выбрать адекватную модель необхо-

Димо ответить на ряд вопросов, которые возникают при ее

анализе:

_ Каковы признаки “хорошей” модели?

_ Какие ошибки спецификации могут встречаться, и како-

вы их последствия?

_ Как найти ошибку спецификации?

_ Как можно исправить ошибку спецификации и перейти

к более качественной модели?

Для того чтобы построить “хорошую” модель, нужно учи-

Тывать следующие критерии.

Модель должна быть максимально простой (модель уп-

Рощенно описывает изучаемое явление). Поэтому из двух мо-

Делей, приблизительно одинаково описывающих изучаемый

Процесс, выбирают более простую (например, содержащую

Меньшее количество факторных признаков).

Для любого набора данных наблюдений определяемые па-

Раметры должны находиться однозначно.

Уравнение регрессии будет тем лучше, чем большую

Часть разброса результативного признака оно может объяс-

Нить, т. е. коэффициент детерминации должен быть макси-

Мальным.

Никакое уравнение регрессии не может быть признано ка-

Чественным, если оно не соответствует теоретическим предпо-

Сылкам.

Модель можно признать хорошей, если полученные на

Ее основе прогнозы, соответствуют реальной действитель-

Ности.

Ошибки спецификации в данном пособии не рассматрива-

ются. Сведения о них можно почерпнуть, например, в [6].

Теперь приведем конкретный пример расчета криволи-

Нейного уравнения регрессии.

Пример 10.5

Построить показательное уравнение регрессии,

Если имеются данные наблюдений над двумя случайными ве-

личинами x и y (табл. 10.13, данные условные)

Таблица 10.13

X 4 5 5 6 8 10 8 7 11 6

Y 1,5 2 4,4 2,3 2,7 4 2,3 2,5 6,6 1,7

Используя данные табл. 10.13, построим поле корреляции

для нашего примера (риc. 10.3) Черными точкам на рис. 10.3

Обозначены исходные данные.

y

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Рис. 10.3

В данном примере вид уравнения регрессии задан (показа-

Тельная функция). С помощью логарифмирования линеаризи-

руем исходную модель. Получаем:

.

Исходные параметры а и b найдем с помощью МНК.

Условие МНК в данном случае имеет вид:

. (10.94)

Записываем необходимые условия экстремума функции F

двух независимых аргументов ln a и ln b.

. (10.95)

Вычисляем чистые производные и получаем следующую

систему уравнений:

(10.96)

После преобразования (10.96) получаем следующую систе-

му нормальных уравнений:

(10.97)

Считая, что искомые параметры a и b отличны от нуля

(a ≠ 0, b ≠ 0), умножаем левую и правую стороны первого урав-

нения системы (10.97) на а, а второго — на b и получаем:

(10.98)