Ентом множественной детерминации, показывает, какая доля
Вариации результативного признака объясняется влиянием
Факторных признаков, которые включены в уравнение мно-
Жественной регрессии. Возможные значения и
могут находиться в пределах отрезка [0, 1]. Следовательно, чем
Ближе к единице, тем вариация результативного при-
Знака в большей мере характеризуется влиянием учтенных
Факторных признаков.
Подробно рассмотрим частный случай линейной множес-
Твенной регрессии — двухфакторную линейную регрессию и
Приведем конкретный числовой пример.
Уравнение двухфакторной линейной регрессии записыва-
ется следующим образом:
, (10.65)
Где — расчетные значения результативного признака;
x 1 i, x 2 i — полученные в результате проведения статисти-
Ческого наблюдения значения факторных признаков;
a 1, a 2, b — параметры уравнения регрессии, подлежащие
Определению.
Для нахождения параметров уравнения регрессии вида
(10.65) используем МНК. Условие МНК в данном случае имеет
вид:
. (10.66)
Функция (10.66) — функция трех независимых аргумен-
тов: a 1, a 2, b. Запишем необходимое условие экстремума этой
функции:
. (10.67)
После нахождения частных производных имеем:
(10.68)
После преобразования системы (10.68) получаем систему
нормальных уравнений:
(10.69)
Для решения системы (10.69) используем метод Крамера (о
методе Крамера можно причитать, например, в [2]). Для нахожде-
Ния решения системы (10.69) можно применить и метод Гаусса.
Сначала находим определитель системы, который не дол-
жен равняться нулю:
.
Далее вычисляем определители Δ1, Δ2, Δ3:
.
Определители Δ1, Δ2, Δ3 расписываются так же, как опре-
делитель Δ (эти разложения не приведены, чтобы не загромож-
Дать вывод).
Зная значение определителей Δ, Δ1, Δ2, Δ3, находим искомые
параметры уравнения регрессии по следующим формулам:
. (10.70)
Теперь найдем коэффициенты парной корреляции (ко-
Эффициенты нулевого порядка), их количество будет равно
Поэтому матрица коэффициентов парной кор-
реляции (10.61) в данном случае будет иметь вид:
.
В нашем случае парные коэффициенты корреляции нахо-
дятся по формулам:
(10.71)
А ковариации (корреляционные моменты) находятся из
выражений:
(10.72)
Коэффициенты частной корреляции первого порядка в
данном случае находятся по следующим формулам:
Определяется по уже приведенной формуле (10.62)
. (10.73)
(в этой формуле исключено влияние факторного признака x 1).
(10.74)
(в этой формуле исключено влияние результативного призна-
ка у).
Теперь по формуле (10.64) определяем совокупный коэф-
Фициент множественной корреляции. Для случая двухфактор-
ной линейной модели формула (10.64) примет вид:
. (10.75)
Как уже говорилось, величина называется совокуп-
Ным коэффициентом множественной детерминации. Он пока-
зывает, какая часть дисперсии результативного признака у
объясняется за счет двух учтенных факторных признаков x 1 и
x 2. Заметим, что на основе парных коэффициентов корреляции
И средних квадратических отклонений можно определить па-
Раметры линейной двухфакторной регрессионной модели вида
(10.65) (см. например [14]).
Теперь приведем конкретный числовой пример. Для этого
Используем исходные данные примера 10.2. Поместим эти дан-
ные в табл. 10.12.
По данным табл. 10.12 вычисляем коэффициенты системы
нормальных уравнений (10.69):
Следовательно, система нормальных уравнений (10.69) име-
ет вид:
(10.76)
Решаем полученную систему (10.76) методом Крамера:
Таблица 10.12
Год Преступления (уi)
Хищения оружия
(x 1 i)
Административные
правонарушения (x 2 i)
1997 13492 143627 238424
1998 13557 145471 213212
1999 14395 147783 215861
2000 15640 150209 233230
2001 17988 152763 236415
2002 17917 155207 234380
2003 17569 157804 220531
2004 17178 160050 260596
Теперь по формулам (10.70) находим искомые параметры
уравнения регрессии:
Поэтому получаем следующее уравнение двухфакторной
линейной регрессии:
. (10.77)
По уравнения регрессии (10.77) найдем расчетные (вырав-
ненные) значения результативного признака:
Делаем арифметический контроль. Должно выполняться
условие:
В нашем случае имеем. Сравниваем с
И видим, что арифметический контроль выполнен
(различие на единицу объясняется ошибками округления).
