. (10.57)
Теперь записываем необходимые условия экстремума
функции, содержащей (m + 1) переменных (a 1, a 2, …, am, b).
. (10.58)
Находим частные производные функции F по неизвестным
параметрам a 1, a 2, …, am, b и получаем следующее:
(10.59)
После преобразования системы (10.59) получаем так назы-
ваемую систему нормальных уравнений:
(10.60)
Решая систему нормальных уравнений (10.60) (они линей-
Ные), определяем неизвестные параметры множественной ли-
нейной регрессионной модели: a 1, a 2, …, am, b. Разумеется, ре-
Шение системы проводят на ПЭВМ, например, методом Гаусса
Или одной из его модификаций (в том случае, если количест-
Во неизвестных параметров не превышает нескольких сотен).
В том случае, если количество искомых параметров несколько
Тысяч, можно использовать итерационные методы решения
Системы нормальных уравнений (10.60), например, методом
Якоби или методом Зейделя.
После нахождения неизвестных параметров уравнения
Множественной линейной регрессии надо провести проверку ее
Адекватности с помощью корреляционного анализа.
Так как на изучаемый результативный признак влияет не
один факторный признак, а несколько (m факторных призна-
Ков), то появляется задача изолированного измерения тесно-
Ты связи результативного признака с каждым из признаков-
Факторов, а также задача определения тесноты связи между
Результативным признаком и всеми факторными признаками,
Включенными в модель множественной регрессии.
При рассмотрении линейной однофакторной модели мы
Находим один парный коэффициент корреляции (вернее его
Оценку) между признаком-следствием и факторным призна-
Ком. В случае множественной линейной модели число парных
коэффициентов корреляции будет равно:
,
где — число сочетаний из (m + 1) по два, а (m + 1)! — чи-
тается (m + 1) факториал и равно: (m + 1)! = 1⋅2·…⋅ m (m + 1).
Заметим, что 0! = 1. Все коэффициенты парной корреляции
Рассчитываются по формуле (10.15) (их называют еще коэффи-
Циентами нулевого порядка).
Найденные коэффициенты парной корреляции удобно за-
Писывать в виде матрицы коэффициентов парной корреляции.
Напомним, что матрица — это прямоугольная таблица, содер-
Жащая некоторые математические объекты, в данном случае
Коэффициенты парной корреляции. Число строк и столбцов
Матрицы коэффициентов парной корреляции будет равно, т. е.
Она будет квадратной. Так как коэффициент парной корреля-
ции — это симметричная мера связи (при i ≠ j), то матри-
Ца коэффициентов корреляции записывается или как верхняя,
Или как нижняя треугольная, на главной диагонали которой
Расположены единицы, так как и т. д. Поэ-
Тому матрица коэффициентов парной корреляции (коэффици-
ентов нулевого порядка) имеет вид:
. (10.61)
На основе коэффициентов нулевого порядка (см. (10.61))
Можно найти коэффициенты частной корреляции первого по-
Рядка, если элиминируется (устраняется) корреляция с одной
Переменной. Например,
. (10.62)
В формуле (10.62) исключаем влияние признака x 2.
На основе коэффициентов частной корреляции первого по-
Рядка определяют коэффициенты частной корреляции второго
Порядка. В этом случае элиминируется корреляция с двумя пе-
Ременными, например,
. (10.63)
В формуле (10.63) исключили влияние факторов x 2 и x 3. На
Основе коэффициентов частной корреляции второго порядка
Находят коэффициенты частной корреляции третьего порядка
И т. д. Коэффициенты частной корреляции являются мерами
Линейной зависимости и принимают значения от -1 до 1. Квад-
Рат коэффициента частной корреляции называется коэффи-
Циентом частной детерминации.
Показателем тесноты связи, которая устанавливается
между признаком-следствием и факторными признаками (m
Факторных признаков) является совокупный коэффициент
Множественной корреляции. Если известны парные
коэффициенты корреляции, то его можно найти по формуле:
. (10.64)
Квадрат совокупного коэффициента множественной кор-
