Приведем некоторые виды моделей, часто применяемые
для аналитического выравнивания:
Линейная;
Квадратичная парабола;
Кубическая парабола;
Показательная;
Экспоненциальная;
Логарифмическая парабола;
Гиперболическая;
Кривая Гомперца и др.
При наличии периодических колебаний в динамическом
Ряду для его выравнивания и прогнозирования используют ряд
Фурье. Оценка параметров выбранной модели, как правило,
Осуществляется по методу наименьших квадратов (МНК). Ска-
Жем несколько слов о МНК. В 1806 г. французский математик
Лежандр предложил метод решения неопределенных систем
Линейных уравнений, неизвестными в которых были поправки
В результаты наблюдений, получивший название МНК. В этом
методе уравнения подчиняются дополнительному условию:
сумма квадратов поправок (vi), которые вводятся в равноточ-
Ные наблюдения, должна быть минимальной, меньше суммы
Квадратов любой другой системы поправок, которая удовлет-
Воряет данным уравнениям, т. е.
. (8.24)
Условие (8.24) и есть математическое выражение принци-
Па наименьших квадратов. Поэтому из всех возможных реше-
Ний системы уравнений выбирается то, которое удовлетворяет
Условию (8.24).
В нашем случае условие метода наименьших квадратов
имеет вид:
, (8.25)
Где — выравненные теоретические уровни динамического
Ряда;
yi — фактические уровни динамического ряда.
Рассмотрим выравнивание ряда динамики по линейной
Функции (в качестве модели берем уравнение прямой). Оно
Применяется, как правило, тогда, когда абсолютные приросты
Практически постоянны.
Итак, линейная модель имеет вид:
, (8.26)
где a и b пока неизвестные нам параметры.
Подставляем (8.26) в условие МНК (8.25) и получаем
. (8.27)
Итак, задача состоит в определении минимума функции
двух аргументов F (a, b). Из курса математического анализа из-
Вестно, что необходимое условие экстремума (в данном случае
минимума) функции двух аргументов имеет вид:
;.
Дифференцируем последовательно функцию (8.27) по ар-
гументам a и b и получаем:
(8.28)
После преобразования системы (8.28) получаем так назы-
ваемую систему нормальных уравнений:
(8.29)
где yi — фактические уровни ряда;
t — время (порядковый номер периода или момента вре-
Мени);
k — количество уровней ряда динамики.
Решая систему нормальных уравнений, можно найти па-
раметры a и b. Но их расчет можно значительно упростить,
если за начало отсчета времени (t = 0) взять центральный ин-
Тервал (момент). При четном числе уровней (например, 6), зна-
чения t — условного обозначения времени будут следующими:
Год 2000 2001 2002 2003 2004 2005
t -5 -3 -1 +1 +3 +5
При нечетном количестве уровней (например, 7) значения
t будут таковы:
Год 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
t -5 -3 -1 0 +1 +3 +5
В обоих случаях получаем:
. (8.30)
Поэтому с учетом (8.30) система нормальных уравнений
(8.29) принимает следующий вид:
(8.31)
Из второго уравнения системы (8.31) находим:
. (8.32)
После этого из первого уравнения системы (8.31) получаем:
. (8.33)
Формулы (8.32) и (8.33) и есть искомые выражения для оп-
Ределения нужных нам величин.
Теперь рассмотрим конкретный пример аналитического
Выравнивания динамического ряда.
Пример 8.5
Выравняем по прямой динамический ряд преступности в
СССР. Исходный ряд динамики и необходимые расчеты при-
ведены в табл. 8.7. Исходный ряд динамики предварительно
изобразим графически в виде линейной диаграммы (рис. 8.2).
Заметим, что несмотря на то, что исходные данные — реально
Зарегистрированные данные, задача является учебной, так как
Рассматриваемый нами ряд динамики слишком короткий, что-
Бы можно было делать какие-то серьезные выводы, например
Проводить экстраполяцию за пределы исходного динамическо-
Го ряда. Линейная диаграмма, в частности, показывает, далеко
Ли отклоняются исходные данные от уравнения прямой, при-
Нятой нами за модель тренда.
Из рис. 8.2 видно, что данные за 1987, 1988, 1990 гг. доста-
Точно сильно отклоняются от прямой линии, мысленно прове-
Денной на рисунке. Повторим еще раз, что для адекватного вы-
Бора модели тренда нужно больше данных.
y
T
Исходный ряд динамики
Выравненный ряд динамики
Рис. 8.2
Таблица 8.7
Год
Исходные уровни
ряда динамики yi
Выравненные уровни
Ряда динамики
t t 2
1981 1609470 1628677 -9 81
1982 1655932 1717768 -7 49
1983 2016514 1806859 -5 25
1984 2029144 1895950 -3 9
1985 2083501 1985041 -1 1
1986 1987239 2074132 +1 1
1987 1798549 2163224 +3 9
1988 1867223 2252315 +5 25
1989 2461692 2341406 +7 49
1990 2786605 2430497 +9 81
По данным табл. 8.7 находим:
;;.
По формулам (8.32) и (8.33) получаем:
;
.
